Математический анализ Примеры

$p (t) = \frac{2000 t}{4 t + 75}$

Этап 1

Поскольку $2000$ является константой относительно $t$ , производная $\frac{2000 t}{4 t + 75}$ по $t$ равна $2000 \frac{d}{d t} [\frac{t}{4 t + 75}]$ .

$2000 \frac{d}{d t} [\frac{t}{4 t + 75}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ имеет вид $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , где $f (t) = t$ и $g (t) = 4 t + 75$ .

$2000 \frac{(4 t + 75) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [4 t + 75]}{{(4 t + 75)}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2000 \frac{(4 t + 75) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [4 t + 75]}{{(4 t + 75)}^{2}}$

Этап 3.2

Умножим $4 t + 75$ на $1$ .

$2000 \frac{4 t + 75 - t \frac{d}{d t} [4 t + 75]}{{(4 t + 75)}^{2}}$

Этап 3.3

По правилу суммы производная $4 t + 75$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [75]$ .

$2000 \frac{4 t + 75 - t (\frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [75])}{{(4 t + 75)}^{2}}$

Этап 3.4

Поскольку $4$ является константой относительно $t$ , производная $4 t$ по $t$ равна $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2000 \frac{4 t + 75 - t (4 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [75])}{{(4 t + 75)}^{2}}$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2000 \frac{4 t + 75 - t (4 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [75])}{{(4 t + 75)}^{2}}$

Этап 3.6

Умножим $4$ на $1$ .

$2000 \frac{4 t + 75 - t (4 + \frac{d}{d t} [75])}{{(4 t + 75)}^{2}}$

Этап 3.7

Поскольку $75$ является константой относительно $t$ , производная $75$ относительно $t$ равна $0$ .

$2000 \frac{4 t + 75 - t (4 + 0)}{{(4 t + 75)}^{2}}$

Этап 3.8

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Добавим $4$ и $0$ .

$2000 \frac{4 t + 75 - t \cdot 4}{{(4 t + 75)}^{2}}$

Этап 3.8.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$2000 \frac{4 t + 75 - 4 t}{{(4 t + 75)}^{2}}$

Этап 3.8.3

Вычтем $4 t$ из $4 t$ .

$2000 \frac{0 + 75}{{(4 t + 75)}^{2}}$

Этап 3.8.4

Добавим $0$ и $75$ .

$2000 \frac{75}{{(4 t + 75)}^{2}}$

Этап 3.8.5

Объединим $2000$ и $\frac{75}{{(4 t + 75)}^{2}}$ .

$\frac{2000 \cdot 75}{{(4 t + 75)}^{2}}$

Этап 3.8.6

Умножим $2000$ на $75$ .

$\frac{150000}{{(4 t + 75)}^{2}}$