Математический анализ Примеры

$\ln (| \cos (x) |)$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = | \cos (x) |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $| \cos (x) |$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| \cos (x) |]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| \cos (x) |]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $| \cos (x) |$ .

$\frac{1}{| \cos (x) |} \frac{d}{d x} [| \cos (x) |]$

Этап 2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\cos (x)$ .

$\frac{1}{| \cos (x) |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 2.2

Производная $| u_{2} |$ по $u_{2}$ равна $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ .

$\frac{1}{| \cos (x) |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\cos (x)$ .

$\frac{1}{| \cos (x) |} (\frac{\cos (x)}{| \cos (x) |} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 3

Умножим $\frac{\cos (x)}{| \cos (x) |}$ на $\frac{1}{| \cos (x) |}$ .

$\frac{\cos (x)}{| \cos (x) | | \cos (x) |} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 4

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

$\frac{\cos (x)}{| \cos (x) \cos (x) |} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 5

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos (x)}{| \cos^{1} (x) \cos (x) |} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 6

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos (x)}{| \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) |} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\cos (x)}{| {\cos (x)}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\cos (x)}{| \cos^{2} (x) |} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 9

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{| \cos^{2} (x) |} (- \sin (x))$

Этап 10

Объединим $\frac{\cos (x)}{| \cos^{2} (x) |}$ и $\sin (x)$ .

$- \frac{\cos (x) \sin (x)}{| \cos^{2} (x) |}$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Вынесем неотрицательные члены из-под знака модуля.

$- \frac{\cos (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 11.2

Сократим общий множитель $\cos (x)$ и $\cos^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos (x) \sin (x)$ .

$- \frac{\cos (x) (\sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Этап 11.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos^{2} (x)$ .

$- \frac{\cos (x) (\sin (x))}{\cos (x) \cos (x)}$

Этап 11.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{\cos (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

Этап 11.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 11.3

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$- \tan (x)$