Математический анализ Примеры

$\ln (\frac{6 - x}{6 + x})$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \frac{6 - x}{6 + x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{6 - x}{6 + x}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{6 - x}{6 + x}]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{6 - x}{6 + x}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{6 - x}{6 + x}$ .

$\frac{1}{\frac{6 - x}{6 + x}} \frac{d}{d x} [\frac{6 - x}{6 + x}]$

Этап 2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{6 - x}{6 + x}$ .

$1 \frac{6 + x}{6 - x} \frac{d}{d x} [\frac{6 - x}{6 + x}]$

Этап 3

Умножим $\frac{6 + x}{6 - x}$ на $1$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \frac{d}{d x} [\frac{6 - x}{6 + x}]$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 6 - x$ и $g (x) = 6 + x$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{(6 + x) \frac{d}{d x} [6 - x] - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

По правилу суммы производная $6 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{(6 + x) (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x]) - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

Этап 5.2

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{(6 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

Этап 5.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{(6 + x) \frac{d}{d x} [- x] - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

Этап 5.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{(6 + x) (- \frac{d}{d x} [x]) - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

Этап 5.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{(6 + x) (- 1 \cdot 1) - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

Этап 5.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{(6 + x) \cdot - 1 - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

Этап 5.6.2

Перенесем $- 1$ влево от $6 + x$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{- 1 \cdot (6 + x) - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

Этап 5.6.3

Перепишем $- 1 (6 + x)$ в виде $- (6 + x)$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{- (6 + x) - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

Этап 5.7

По правилу суммы производная $6 + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{- (6 + x) - (6 - x) (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [x])}{{(6 + x)}^{2}}$

Этап 5.8

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{- (6 + x) - (6 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(6 + x)}^{2}}$

Этап 5.9

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{- (6 + x) - (6 - x) \frac{d}{d x} [x]}{{(6 + x)}^{2}}$

Этап 5.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{- (6 + x) - (6 - x) \cdot 1}{{(6 + x)}^{2}}$

Этап 5.11

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{- (6 + x) - (6 - x)}{{(6 + x)}^{2}}$

Этап 5.11.2

Умножим $\frac{6 + x}{6 - x}$ на $\frac{- (6 + x) - (6 - x)}{{(6 + x)}^{2}}$ .

$\frac{(6 + x) (- (6 + x) - (6 - x))}{(6 - x) {(6 + x)}^{2}}$

Этап 6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $6 + x$ из $(6 - x) {(6 + x)}^{2}$ .

$\frac{(6 + x) (- (6 + x) - (6 - x))}{(6 + x) ((6 - x) (6 + x))}$

Этап 6.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(6 + x) (- (6 + x) - (6 - x))}{(6 + x) ((6 - x) (6 + x))}$

Этап 6.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- (6 + x) - (6 - x)}{(6 - x) (6 + x)}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 1 \cdot 6 - x - (6 - x)}{(6 - x) (6 + x)}$

Этап 7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 1 \cdot 6 - x - 1 \cdot 6 - - x}{(6 - x) (6 + x)}$

Этап 7.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Умножим $- 1$ на $6$ .

$\frac{- 6 - x - 1 \cdot 6 - - x}{(6 - x) (6 + x)}$

Этап 7.3.1.2

Умножим $- 1$ на $6$ .

$\frac{- 6 - x - 6 - - x}{(6 - x) (6 + x)}$

Этап 7.3.1.3

Умножим $- - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{- 6 - x - 6 + 1 x}{(6 - x) (6 + x)}$

Этап 7.3.1.3.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{- 6 - x - 6 + x}{(6 - x) (6 + x)}$

Этап 7.3.2

Объединим противоположные члены в $- 6 - x - 6 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Добавим $- x$ и $x$ .

$\frac{- 6 + 0 - 6}{(6 - x) (6 + x)}$

Этап 7.3.2.2

Добавим $- 6$ и $0$ .

$\frac{- 6 - 6}{(6 - x) (6 + x)}$

Этап 7.3.3

Вычтем $6$ из $- 6$ .

$\frac{- 12}{(6 - x) (6 + x)}$

Этап 7.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{12}{(6 - x) (6 + x)}$