Математический анализ Примеры

$\ln (\sqrt{x y})$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x y}$ в виде ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln ({(x y)}^{\frac{1}{2}})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = {(x y)}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x y$ .

$\frac{1}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x y])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x y])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x y$ .

$\frac{1}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x y])$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

Этап 7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

Этап 8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

Этап 9

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{{(x y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x y])$

Этап 10

Перенесем ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x y])$

Этап 11

Умножим $\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}} {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 12

Умножим ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Перенесем ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 ({(x y)}^{\frac{1}{2}} {(x y)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 12.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 12.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1 + 1}{2}}} \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 12.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{2}{2}}} \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 12.5

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{2 {(x y)}^{1}} \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 13

Упростим $2 {(x y)}^{1}$ .

$\frac{1}{2 (x y)} \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 14

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $x y$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 x y} (y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 15

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Объединим $y$ и $\frac{1}{2 x y}$ .

$\frac{y}{2 x y} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 15.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{2 x y} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 15.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 16

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2 x} \cdot 1$

Этап 17

Умножим $\frac{1}{2 x}$ на $1$ .

$\frac{1}{2 x}$