Математический анализ Примеры

$y = {(3 x^{4} + 1)}^{4} (x^{3} + 4)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = {(3 x^{4} + 1)}^{4}$ и $g (x) = x^{3} + 4$ .

${(3 x^{4} + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4] + (x^{3} + 4) \frac{d}{d x} [{(3 x^{4} + 1)}^{4}]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{3} + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

${(3 x^{4} + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{3} + 4) \frac{d}{d x} [{(3 x^{4} + 1)}^{4}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

${(3 x^{4} + 1)}^{4} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{3} + 4) \frac{d}{d x} [{(3 x^{4} + 1)}^{4}]$

Этап 2.3

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

${(3 x^{4} + 1)}^{4} (3 x^{2} + 0) + (x^{3} + 4) \frac{d}{d x} [{(3 x^{4} + 1)}^{4}]$

Этап 2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $3 x^{2}$ и $0$ .

${(3 x^{4} + 1)}^{4} (3 x^{2}) + (x^{3} + 4) \frac{d}{d x} [{(3 x^{4} + 1)}^{4}]$

Этап 2.4.2

Перенесем $3$ влево от ${(3 x^{4} + 1)}^{4}$ .

$3 \cdot {(3 x^{4} + 1)}^{4} x^{2} + (x^{3} + 4) \frac{d}{d x} [{(3 x^{4} + 1)}^{4}]$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = 3 x^{4} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x^{4} + 1$ .

$3 {(3 x^{4} + 1)}^{4} x^{2} + (x^{3} + 4) (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 1])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$3 {(3 x^{4} + 1)}^{4} x^{2} + (x^{3} + 4) (4 u^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 1])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x^{4} + 1$ .

$3 {(3 x^{4} + 1)}^{4} x^{2} + (x^{3} + 4) (4 {(3 x^{4} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 1])$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем $4$ влево от $x^{3} + 4$ .

$3 {(3 x^{4} + 1)}^{4} x^{2} + 4 \cdot (x^{3} + 4) {(3 x^{4} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 1]$

Этап 4.2

По правилу суммы производная $3 x^{4} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$3 {(3 x^{4} + 1)}^{4} x^{2} + 4 (x^{3} + 4) {(3 x^{4} + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 4.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{4}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 {(3 x^{4} + 1)}^{4} x^{2} + 4 (x^{3} + 4) {(3 x^{4} + 1)}^{3} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$3 {(3 x^{4} + 1)}^{4} x^{2} + 4 (x^{3} + 4) {(3 x^{4} + 1)}^{3} (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 4.5

Умножим $4$ на $3$ .

$3 {(3 x^{4} + 1)}^{4} x^{2} + 4 (x^{3} + 4) {(3 x^{4} + 1)}^{3} (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 4.6

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 {(3 x^{4} + 1)}^{4} x^{2} + 4 (x^{3} + 4) {(3 x^{4} + 1)}^{3} (12 x^{3} + 0)$

Этап 4.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Добавим $12 x^{3}$ и $0$ .

$3 {(3 x^{4} + 1)}^{4} x^{2} + 4 (x^{3} + 4) {(3 x^{4} + 1)}^{3} (12 x^{3})$

Этап 4.7.2

Умножим $12$ на $4$ .

$3 {(3 x^{4} + 1)}^{4} x^{2} + 48 (x^{3} + 4) {(3 x^{4} + 1)}^{3} x^{3}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 {(3 x^{4} + 1)}^{4} x^{2} + (48 x^{3} + 48 \cdot 4) {(3 x^{4} + 1)}^{3} x^{3}$

Этап 5.2

Умножим $48$ на $4$ .

$3 {(3 x^{4} + 1)}^{4} x^{2} + (48 x^{3} + 192) {(3 x^{4} + 1)}^{3} x^{3}$

Этап 5.3

Вынесем множитель ${(3 x^{4} + 1)}^{3} x^{2}$ из $3 {(3 x^{4} + 1)}^{4} x^{2} + (48 x^{3} + 192) {(3 x^{4} + 1)}^{3} x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель ${(3 x^{4} + 1)}^{3} x^{2}$ из $3 {(3 x^{4} + 1)}^{4} x^{2}$ .

${(3 x^{4} + 1)}^{3} x^{2} (3 (3 x^{4} + 1)) + (48 x^{3} + 192) {(3 x^{4} + 1)}^{3} x^{3}$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель ${(3 x^{4} + 1)}^{3} x^{2}$ из $(48 x^{3} + 192) {(3 x^{4} + 1)}^{3} x^{3}$ .

${(3 x^{4} + 1)}^{3} x^{2} (3 (3 x^{4} + 1)) + {(3 x^{4} + 1)}^{3} x^{2} ((48 x^{3} + 192) x)$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель ${(3 x^{4} + 1)}^{3} x^{2}$ из ${(3 x^{4} + 1)}^{3} x^{2} (3 (3 x^{4} + 1)) + {(3 x^{4} + 1)}^{3} x^{2} ((48 x^{3} + 192) x)$ .

${(3 x^{4} + 1)}^{3} x^{2} (3 (3 x^{4} + 1) + (48 x^{3} + 192) x)$

Этап 5.4

Изменим порядок множителей в ${(3 x^{4} + 1)}^{3} x^{2} (3 (3 x^{4} + 1) + (48 x^{3} + 192) x)$ .

$x^{2} {(3 x^{4} + 1)}^{3} (3 (3 x^{4} + 1) + (48 x^{3} + 192) x)$