Математический анализ Примеры

$y = \frac{x^{2} + 3 e^{x}}{2 e^{x} - x}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2} + 3 e^{x}$ и $g (x) = 2 e^{x} - x$ .

$\frac{(2 e^{x} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 e^{x}] - (x^{2} + 3 e^{x}) \frac{d}{d x} [2 e^{x} - x]}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 3 e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

$\frac{(2 e^{x} - x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]) - (x^{2} + 3 e^{x}) \frac{d}{d x} [2 e^{x} - x]}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(2 e^{x} - x) (2 x + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]) - (x^{2} + 3 e^{x}) \frac{d}{d x} [2 e^{x} - x]}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Этап 2.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 e^{x}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(2 e^{x} - x) (2 x + 3 \frac{d}{d x} [e^{x}]) - (x^{2} + 3 e^{x}) \frac{d}{d x} [2 e^{x} - x]}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{(2 e^{x} - x) (2 x + 3 e^{x}) - (x^{2} + 3 e^{x}) \frac{d}{d x} [2 e^{x} - x]}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $2 e^{x} - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{(2 e^{x} - x) (2 x + 3 e^{x}) - (x^{2} + 3 e^{x}) (\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Этап 4.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 e^{x}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(2 e^{x} - x) (2 x + 3 e^{x}) - (x^{2} + 3 e^{x}) (2 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Этап 5

$\frac{(2 e^{x} - x) (2 x + 3 e^{x}) - (x^{2} + 3 e^{x}) (2 e^{x} + \frac{d}{d x} [- x])}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Этап 6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 e^{x} - x) (2 x + 3 e^{x}) - (x^{2} + 3 e^{x}) (2 e^{x} - \frac{d}{d x} [x])}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Этап 6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(2 e^{x} - x) (2 x + 3 e^{x}) - (x^{2} + 3 e^{x}) (2 e^{x} - 1 \cdot 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Этап 6.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{(2 e^{x} - x) (2 x + 3 e^{x}) - (x^{2} + 3 e^{x}) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 e^{x} - x) (2 x + 3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Этап 7.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Развернем $(2 e^{x} - x) (2 x + 3 e^{x})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 e^{x} (2 x + 3 e^{x}) - x (2 x + 3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Этап 7.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 e^{x} (2 x) + 2 e^{x} (3 e^{x}) - x (2 x + 3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Этап 7.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 e^{x} (2 x) + 2 e^{x} (3 e^{x}) - x (2 x) - x (3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Этап 7.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 \cdot 2 e^{x} x + 2 e^{x} (3 e^{x}) - x (2 x) - x (3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Этап 7.2.1.2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 e^{x} x + 2 e^{x} (3 e^{x}) - x (2 x) - x (3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Этап 7.2.1.2.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{4 e^{x} x + 2 \cdot 3 e^{x} e^{x} - x (2 x) - x (3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Этап 7.2.1.2.1.4

Умножим $e^{x}$ на $e^{x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.2.1.4.1

Перенесем $e^{x}$ .

$\frac{4 e^{x} x + 2 \cdot 3 (e^{x} e^{x}) - x (2 x) - x (3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Этап 7.2.1.2.1.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 e^{x} x + 2 \cdot 3 e^{x + x} - x (2 x) - x (3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Этап 7.2.1.2.1.4.3

Добавим $x$ и $x$ .

$\frac{4 e^{x} x + 2 \cdot 3 e^{2 x} - x (2 x) - x (3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Этап 7.2.1.2.1.5

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{4 e^{x} x + 6 e^{2 x} - x (2 x) - x (3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Этап 7.2.1.2.1.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{4 e^{x} x + 6 e^{2 x} - 1 \cdot 2 x \cdot x - x (3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Этап 7.2.1.2.1.7

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.2.1.7.1

Перенесем $x$ .

$\frac{4 e^{x} x + 6 e^{2 x} - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x (3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Этап 7.2.1.2.1.7.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{4 e^{x} x + 6 e^{2 x} - 1 \cdot 2 x^{2} - x (3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Этап 7.2.1.2.1.8

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{4 e^{x} x + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - x (3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Этап 7.2.1.2.1.9

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{4 e^{x} x + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - 1 \cdot 3 x e^{x} + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Этап 7.2.1.2.1.10

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{4 e^{x} x + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - 3 x e^{x} + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Этап 7.2.1.2.2

Вычтем $3 x e^{x}$ из $4 e^{x} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.2.2.1

Перенесем $e^{x}$ .

$\frac{4 x e^{x} - 3 x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Этап 7.2.1.2.2.2

Вычтем $3 x e^{x}$ из $4 x e^{x}$ .

$\frac{1 x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Этап 7.2.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Этап 7.2.1.4

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} + (- x^{2} - 3 e^{x}) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Этап 7.2.1.5

Развернем $(- x^{2} - 3 e^{x}) (2 e^{x} - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - x^{2} (2 e^{x} - 1) - 3 e^{x} (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Этап 7.2.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - x^{2} (2 e^{x}) - x^{2} \cdot - 1 - 3 e^{x} (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Этап 7.2.1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - x^{2} (2 e^{x}) - x^{2} \cdot - 1 - 3 e^{x} (2 e^{x}) - 3 e^{x} \cdot - 1}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Этап 7.2.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.6.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2} e^{x} - x^{2} \cdot - 1 - 3 e^{x} (2 e^{x}) - 3 e^{x} \cdot - 1}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Этап 7.2.1.6.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - 2 x^{2} e^{x} - x^{2} \cdot - 1 - 3 e^{x} (2 e^{x}) - 3 e^{x} \cdot - 1}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Этап 7.2.1.6.3

Умножим $- x^{2} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.6.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - 2 x^{2} e^{x} + 1 x^{2} - 3 e^{x} (2 e^{x}) - 3 e^{x} \cdot - 1}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Этап 7.2.1.6.3.2

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - 2 x^{2} e^{x} + x^{2} - 3 e^{x} (2 e^{x}) - 3 e^{x} \cdot - 1}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Этап 7.2.1.6.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - 2 x^{2} e^{x} + x^{2} - 3 \cdot 2 e^{x} e^{x} - 3 e^{x} \cdot - 1}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Этап 7.2.1.6.5

Умножим $e^{x}$ на $e^{x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.6.5.1

Перенесем $e^{x}$ .

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - 2 x^{2} e^{x} + x^{2} - 3 \cdot 2 (e^{x} e^{x}) - 3 e^{x} \cdot - 1}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Этап 7.2.1.6.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - 2 x^{2} e^{x} + x^{2} - 3 \cdot 2 e^{x + x} - 3 e^{x} \cdot - 1}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Этап 7.2.1.6.5.3

Добавим $x$ и $x$ .

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - 2 x^{2} e^{x} + x^{2} - 3 \cdot 2 e^{2 x} - 3 e^{x} \cdot - 1}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Этап 7.2.1.6.6

Умножим $- 3$ на $2$ .

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - 2 x^{2} e^{x} + x^{2} - 6 e^{2 x} - 3 e^{x} \cdot - 1}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Этап 7.2.1.6.7

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - 2 x^{2} e^{x} + x^{2} - 6 e^{2 x} + 3 e^{x}}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Этап 7.2.2

Объединим противоположные члены в $x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - 2 x^{2} e^{x} + x^{2} - 6 e^{2 x} + 3 e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Вычтем $6 e^{2 x}$ из $6 e^{2 x}$ .

$\frac{x e^{x} - 2 x^{2} - 2 x^{2} e^{x} + x^{2} + 0 + 3 e^{x}}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Этап 7.2.2.2

Добавим $x e^{x} - 2 x^{2} - 2 x^{2} e^{x} + x^{2}$ и $0$ .

$\frac{x e^{x} - 2 x^{2} - 2 x^{2} e^{x} + x^{2} + 3 e^{x}}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Этап 7.2.3

Добавим $- 2 x^{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{x e^{x} - x^{2} - 2 x^{2} e^{x} + 3 e^{x}}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Этап 7.3

Изменим порядок членов.

$\frac{- x^{2} + e^{x} x - 2 e^{x} x^{2} + 3 e^{x}}{{(- x + 2 e^{x})}^{2}}$

Этап 7.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) + e^{x} x - 2 e^{x} x^{2} + 3 e^{x}}{{(- x + 2 e^{x})}^{2}}$

Этап 7.5

Вынесем множитель $- 1$ из $e^{x} x$ .

$\frac{- (x^{2}) - (- e^{x} x) - 2 e^{x} x^{2} + 3 e^{x}}{{(- x + 2 e^{x})}^{2}}$

Этап 7.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - (- e^{x} x)$ .

$\frac{- (x^{2} - e^{x} x) - 2 e^{x} x^{2} + 3 e^{x}}{{(- x + 2 e^{x})}^{2}}$

Этап 7.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 e^{x} x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2} - e^{x} x) - (2 e^{x} x^{2}) + 3 e^{x}}{{(- x + 2 e^{x})}^{2}}$

Этап 7.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} - e^{x} x) - (2 e^{x} x^{2})$ .

$\frac{- (x^{2} - e^{x} x + 2 e^{x} x^{2}) + 3 e^{x}}{{(- x + 2 e^{x})}^{2}}$

Этап 7.9

Вынесем множитель $- 1$ из $3 e^{x}$ .

$\frac{- (x^{2} - e^{x} x + 2 e^{x} x^{2}) - (- 3 e^{x})}{{(- x + 2 e^{x})}^{2}}$

Этап 7.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} - e^{x} x + 2 e^{x} x^{2}) - (- 3 e^{x})$ .

$\frac{- (x^{2} - e^{x} x + 2 e^{x} x^{2} - 3 e^{x})}{{(- x + 2 e^{x})}^{2}}$

Этап 7.11

Перепишем $- (x^{2} - e^{x} x + 2 e^{x} x^{2} - 3 e^{x})$ в виде $- 1 (x^{2} - e^{x} x + 2 e^{x} x^{2} - 3 e^{x})$ .

$\frac{- 1 (x^{2} - e^{x} x + 2 e^{x} x^{2} - 3 e^{x})}{{(- x + 2 e^{x})}^{2}}$

Этап 7.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x^{2} - e^{x} x + 2 e^{x} x^{2} - 3 e^{x}}{{(- x + 2 e^{x})}^{2}}$

Этап 7.13

Изменим порядок множителей в $- \frac{x^{2} - e^{x} x + 2 e^{x} x^{2} - 3 e^{x}}{{(- x + 2 e^{x})}^{2}}$ .

$- \frac{x^{2} - x e^{x} + 2 x^{2} e^{x} - 3 e^{x}}{{(- x + 2 e^{x})}^{2}}$