Математический анализ Примеры

$y = {(\ln (x))}^{\cos (x)}$

Этап 1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить дифференцирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(\ln (x))}^{\cos (x)}$ в виде $e^{\ln ({(\ln (x))}^{\cos (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(\ln (x))}^{\cos (x)})}]$

Этап 1.2

Развернем $\ln ({(\ln (x))}^{\cos (x)})$ , вынося $\cos (x)$ из логарифма.

$\frac{d}{d x} [e^{\cos (x) \ln (\ln (x))}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = \cos (x) \ln (\ln (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\cos (x) \ln (\ln (x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (\ln (x))]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (\ln (x))]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\cos (x) \ln (\ln (x))$ .

$e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (\ln (x))]$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = \ln (\ln (x))$ .

$e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} (\cos (x) \frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\ln (x)$ .

$e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} (\cos (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 4.2

Производная $\ln (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} (\cos (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\ln (x)$ .

$e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} (\cos (x) (\frac{1}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{\ln (x)}$ и $\cos (x)$ .

$e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} (\frac{\cos (x)}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 6

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} (\frac{\cos (x)}{\ln (x)} \cdot \frac{1}{x} + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 7

Умножим $\frac{\cos (x)}{\ln (x)}$ на $\frac{1}{x}$ .

$e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} (\frac{\cos (x)}{\ln (x) x} + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 8

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} (\frac{\cos (x)}{\ln (x) x} + \ln (\ln (x)) (- \sin (x)))$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} \frac{\cos (x)}{\ln (x) x} + e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} (\ln (\ln (x)) (- \sin (x)))$

Этап 9.2

Объединим $e^{\cos (x) \ln (\ln (x))}$ и $\frac{\cos (x)}{\ln (x) x}$ .

$\frac{e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} \cos (x)}{\ln (x) x} + e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} \ln (\ln (x)) (- \sin (x))$

Этап 9.3

Изменим порядок членов.

$- e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} \sin (x) \ln (\ln (x)) + \frac{e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} \cos (x)}{\ln (x) x}$