Математический анализ Примеры

$y = {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{4}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = {(x^{4} + 2)}^{2}$ и $g (x) = {(x^{3} + 4)}^{4}$ .

${(x^{4} + 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{3} + 4)}^{4}] + {(x^{3} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 2)}^{2}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = x^{3} + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{3} + 4$ .

${(x^{4} + 2)}^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]) + {(x^{3} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 2)}^{2}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

${(x^{4} + 2)}^{2} (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]) + {(x^{3} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 2)}^{2}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{3} + 4$ .

${(x^{4} + 2)}^{2} (4 {(x^{3} + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]) + {(x^{3} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 2)}^{2}]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем $4$ влево от ${(x^{4} + 2)}^{2}$ .

$4 \cdot {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4] + {(x^{3} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 2)}^{2}]$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $x^{3} + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$4 {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]) + {(x^{3} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 2)}^{2}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [4]) + {(x^{3} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 2)}^{2}]$

Этап 3.4

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} (3 x^{2} + 0) + {(x^{3} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 2)}^{2}]$

Этап 3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Добавим $3 x^{2}$ и $0$ .

$4 {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} (3 x^{2}) + {(x^{3} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 2)}^{2}]$

Этап 3.5.2

Умножим $3$ на $4$ .

$12 {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} + {(x^{3} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 2)}^{2}]$

Этап 4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{4} + 2$ .

$12 {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} + {(x^{3} + 4)}^{4} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{4} + 2])$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$12 {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} + {(x^{3} + 4)}^{4} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 2])$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{4} + 2$ .

$12 {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} + {(x^{3} + 4)}^{4} (2 (x^{4} + 2) \frac{d}{d x} [x^{4} + 2])$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем $2$ влево от ${(x^{3} + 4)}^{4}$ .

$12 {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} + 2 \cdot {(x^{3} + 4)}^{4} (x^{4} + 2) \frac{d}{d x} [x^{4} + 2]$

Этап 5.2

По правилу суммы производная $x^{4} + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$12 {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} + 2 {(x^{3} + 4)}^{4} (x^{4} + 2) (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$12 {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} + 2 {(x^{3} + 4)}^{4} (x^{4} + 2) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 5.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$12 {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} + 2 {(x^{3} + 4)}^{4} (x^{4} + 2) (4 x^{3} + 0)$

Этап 5.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Добавим $4 x^{3}$ и $0$ .

$12 {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} + 2 {(x^{3} + 4)}^{4} (x^{4} + 2) (4 x^{3})$

Этап 5.5.2

Умножим $4$ на $2$ .

$12 {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} + 8 {(x^{3} + 4)}^{4} (x^{4} + 2) x^{3}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $4 (x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2}$ из $12 {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} + 8 {(x^{3} + 4)}^{4} (x^{4} + 2) x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем множитель $4 (x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2}$ из $12 {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2}$ .

$4 (x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} (3 (x^{4} + 2)) + 8 {(x^{3} + 4)}^{4} (x^{4} + 2) x^{3}$

Этап 6.1.2

Вынесем множитель $4 (x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2}$ из $8 {(x^{3} + 4)}^{4} (x^{4} + 2) x^{3}$ .

$4 (x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} (3 (x^{4} + 2)) + 4 (x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} (2 (x^{3} + 4) x)$

Этап 6.1.3

Вынесем множитель $4 (x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2}$ из $4 (x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} (3 (x^{4} + 2)) + 4 (x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} (2 (x^{3} + 4) x)$ .

$4 (x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} (3 (x^{4} + 2) + 2 (x^{3} + 4) x)$

Этап 6.2

Изменим порядок множителей в $4 (x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} (3 (x^{4} + 2) + 2 (x^{3} + 4) x)$ .

$4 x^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} (3 (x^{4} + 2) + 2 (x^{3} + 4) x) (x^{4} + 2)$