Математический анализ Примеры

$y = \frac{4 x}{x - 5}$

Этап 1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4 x}{x - 5}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 5}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 5}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x - 5$ .

$4 \frac{(x - 5) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \frac{(x - 5) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 3.2

Умножим $x - 5$ на $1$ .

$4 \frac{x - 5 - x \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 3.3

По правилу суммы производная $x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$4 \frac{x - 5 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \frac{x - 5 - x (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 3.5

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 \frac{x - 5 - x (1 + 0)}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 3.6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Добавим $1$ и $0$ .

$4 \frac{x - 5 - x \cdot 1}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 3.6.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$4 \frac{x - 5 - x}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 3.6.3

Вычтем $x$ из $x$ .

$4 \frac{0 - 5}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 3.6.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.1

Вычтем $5$ из $0$ .

$4 \frac{- 5}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 3.6.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$4 (- \frac{5}{{(x - 5)}^{2}})$

Этап 3.6.4.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- 4 \frac{5}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 3.6.5

Объединим $- 4$ и $\frac{5}{{(x - 5)}^{2}}$ .

$\frac{- 4 \cdot 5}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 3.6.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.6.1

Умножим $- 4$ на $5$ .

$\frac{- 20}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 3.6.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{20}{{(x - 5)}^{2}}$