Математический анализ Примеры

$y = \frac{2}{e^{x} + e^{- x}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2}{e^{x} + e^{- x}}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{e^{x} + e^{- x}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{e^{x} + e^{- x}}]$

Этап 1.2

Перепишем $\frac{1}{e^{x} + e^{- x}}$ в виде ${(e^{x} + e^{- x})}^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(e^{x} + e^{- x})}^{- 1}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = e^{x} + e^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $e^{x} + e^{- x}$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$2 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $e^{x} + e^{- x}$ .

$2 (- {(e^{x} + e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}])$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило суммы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 ({(e^{x} + e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}])$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $e^{x} + e^{- x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$- 2 {(e^{x} + e^{- x})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$- 2 {(e^{x} + e^{- x})}^{- 2} (e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Этап 5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $- x$ .

$- 2 {(e^{x} + e^{- x})}^{- 2} (e^{x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$- 2 {(e^{x} + e^{- x})}^{- 2} (e^{x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 5.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- x$ .

$- 2 {(e^{x} + e^{- x})}^{- 2} (e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 {(e^{x} + e^{- x})}^{- 2} (e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 {(e^{x} + e^{- x})}^{- 2} (e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Этап 6.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 2 {(e^{x} + e^{- x})}^{- 2} (e^{x} + e^{- x} \cdot - 1)$

Этап 6.3.2

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$- 2 {(e^{x} + e^{- x})}^{- 2} (e^{x} - 1 \cdot e^{- x})$

Этап 6.3.3

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$- 2 {(e^{x} + e^{- x})}^{- 2} (e^{x} - e^{- x})$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} (e^{x} - e^{- x})$

Этап 7.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} (e^{x} - e^{- x})$

Этап 7.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} (e^{x} - e^{- x})$

Этап 7.3

Изменим порядок множителей в $- \frac{2}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} (e^{x} - e^{- x})$ .

$- (e^{x} - e^{- x}) \frac{2}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Этап 7.4

Применим свойство дистрибутивности.

$(- e^{x} - - e^{- x}) \frac{2}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Этап 7.5

Умножим $- - e^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$(- e^{x} + 1 e^{- x}) \frac{2}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Этап 7.5.2

Умножим $e^{- x}$ на $1$ .

$(- e^{x} + e^{- x}) \frac{2}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Этап 7.6

Умножим $- e^{x} + e^{- x}$ на $\frac{2}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$ .

$\frac{(- e^{x} + e^{- x}) \cdot 2}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Этап 7.7

Перенесем $2$ влево от $- e^{x} + e^{- x}$ .

$\frac{2 \cdot (- e^{x} + e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Этап 7.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- e^{x}$ .

$\frac{2 (- (e^{x}) + e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Этап 7.9

Вынесем множитель $- 1$ из $e^{- x}$ .

$\frac{2 (- (e^{x}) - 1 (- e^{- x}))}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Этап 7.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- (e^{x}) - 1 (- e^{- x})$ .

$\frac{2 (- (e^{x} - e^{- x}))}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Этап 7.11

Перепишем $- (e^{x} - e^{- x})$ в виде $- 1 (e^{x} - e^{- x})$ .

$\frac{2 (- 1 (e^{x} - e^{- x}))}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Этап 7.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 (e^{x} - e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$