Математический анализ Примеры

Trovare la Derivata - d/dx y=1/2*(x квадратный корень из 64-x^2+64arcsin(x/8))
Этап 1
Продифференцируем.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1
С помощью запишем в виде .
Этап 1.2
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 1.3
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 2
Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 3
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 3.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 3.3
Заменим все вхождения на .
Этап 4
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 5
Объединим и .
Этап 6
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 7
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.1
Умножим на .
Этап 7.2
Вычтем из .
Этап 8
Объединим дроби.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.1
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 8.2
Объединим и .
Этап 8.3
Перенесем в знаменатель, используя правило отрицательных степеней .
Этап 8.4
Объединим и .
Этап 9
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 10
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 11
Добавим и .
Этап 12
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 13
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 14
Объединим дроби.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 14.1
Умножим на .
Этап 14.2
Объединим и .
Этап 14.3
Объединим и .
Этап 15
Возведем в степень .
Этап 16
Возведем в степень .
Этап 17
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 18
Добавим и .
Этап 19
Вынесем множитель из .
Этап 20
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 20.1
Вынесем множитель из .
Этап 20.2
Сократим общий множитель.
Этап 20.3
Перепишем это выражение.
Этап 21
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 22
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 23
Умножим на .
Этап 24
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 25
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 26
Умножим на , сложив экспоненты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 26.1
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 26.2
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 26.3
Добавим и .
Этап 26.4
Разделим на .
Этап 27
Продифференцируем, используя правило умножения на константу.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 27.1
Упростим .
Этап 27.2
Вычтем из .
Этап 27.3
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 28
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 28.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 28.2
Производная по равна .
Этап 28.3
Заменим все вхождения на .
Этап 29
Продифференцируем.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 29.1
Объединим и .
Этап 29.2
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 29.3
Упростим члены.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 29.3.1
Умножим на .
Этап 29.3.2
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 29.3.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 29.3.2.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 29.3.2.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 29.3.2.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 29.3.2.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 29.4
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 29.5
Умножим на .
Этап 30
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 31
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 32
Запишем каждое выражение с общим знаменателем , умножив на подходящий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 32.1
Умножим на .
Этап 32.2
Умножим на .
Этап 32.3
Изменим порядок множителей в .
Этап 33
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 34
Умножим на .
Этап 35
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 35.1
Применим правило умножения к .
Этап 35.2
Применим правило умножения к .
Этап 35.3
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 35.3.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 35.3.1.1
Перепишем в виде .
Этап 35.3.1.2
Перепишем в виде .
Этап 35.3.1.3
Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, , где и .
Этап 35.3.1.4
Запишем в виде дроби с общим знаменателем.
Этап 35.3.1.5
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 35.3.1.6
Запишем в виде дроби с общим знаменателем.
Этап 35.3.1.7
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 35.3.1.8
Умножим на .
Этап 35.3.1.9
Умножим на .
Этап 35.3.1.10
Перепишем в виде .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 35.3.1.10.1
Вынесем полную степень из .
Этап 35.3.1.10.2
Вынесем полную степень из .
Этап 35.3.1.10.3
Перегруппируем дробь .
Этап 35.3.1.11
Вынесем члены из-под знака корня.
Этап 35.3.1.12
Объединим и .
Этап 35.3.1.13
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 35.3.1.14
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 35.3.1.14.1
Вынесем множитель из .
Этап 35.3.1.14.2
Вынесем множитель из .
Этап 35.3.1.14.3
Сократим общий множитель.
Этап 35.3.1.14.4
Перепишем это выражение.
Этап 35.3.1.15
Объединим и .
Этап 35.3.1.16
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 35.3.1.16.1
Вынесем множитель из .
Этап 35.3.1.16.2
Сократим общий множитель.
Этап 35.3.1.16.3
Перепишем это выражение.
Этап 35.3.1.17
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 35.3.1.18
Объединим и .
Этап 35.3.1.19
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 35.3.1.20
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 35.3.1.20.1
Вынесем множитель из .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 35.3.1.20.1.1
Вынесем множитель из .
Этап 35.3.1.20.1.2
Вынесем множитель из .
Этап 35.3.1.20.1.3
Вынесем множитель из .
Этап 35.3.1.20.2
Умножим на .
Этап 35.3.2
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 35.3.3
Объединим и .
Этап 35.3.4
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 35.3.5
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 35.3.5.1
С помощью запишем в виде .
Этап 35.3.5.2
Развернем , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 35.3.5.2.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 35.3.5.2.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 35.3.5.2.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 35.3.5.3
Упростим и объединим подобные члены.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 35.3.5.3.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 35.3.5.3.1.1
Умножим на .
Этап 35.3.5.3.1.2
Умножим на .
Этап 35.3.5.3.1.3
Перенесем влево от .
Этап 35.3.5.3.1.4
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 35.3.5.3.1.5
Умножим на , сложив экспоненты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 35.3.5.3.1.5.1
Перенесем .
Этап 35.3.5.3.1.5.2
Умножим на .
Этап 35.3.5.3.2
Добавим и .
Этап 35.3.5.3.3
Добавим и .
Этап 35.3.5.4
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 35.3.5.5
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 35.3.5.6
Перенесем влево от .
Этап 35.3.5.7
Умножим на .
Этап 35.3.5.8
Добавим и .
Этап 35.3.5.9
Перепишем в разложенном на множители виде.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 35.3.5.9.1
Добавим круглые скобки.
Этап 35.3.5.9.2
Вынесем множитель из .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 35.3.5.9.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 35.3.5.9.2.2
Вынесем множитель из .
Этап 35.3.5.9.2.3
Вынесем множитель из .
Этап 35.3.5.9.3
Перепишем в виде .
Этап 35.3.5.9.4
Изменим порядок и .
Этап 35.3.5.9.5
Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, , где и .
Этап 35.3.5.9.6
Заменим все вхождения на .
Этап 35.3.5.9.7
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 35.3.5.9.7.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 35.3.5.9.7.2
Перенесем влево от .
Этап 35.3.5.9.8
Пусть . Подставим вместо для всех.
Этап 35.3.5.9.9
Вынесем множитель из .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 35.3.5.9.9.1
Вынесем множитель из .
Этап 35.3.5.9.9.2
Вынесем множитель из .
Этап 35.3.5.9.9.3
Вынесем множитель из .
Этап 35.3.5.9.10
Заменим все вхождения на .
Этап 35.4
Объединим термины.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 35.4.1
Возведем в степень .
Этап 35.4.2
Перепишем в виде произведения.
Этап 35.4.3
Умножим на .
Этап 35.4.4
Умножим на .
Этап 35.4.5
Сократим общий множитель.
Этап 35.4.6
Перепишем это выражение.
Этап 35.5
Упростим знаменатель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 35.5.1
Запишем в виде дроби с общим знаменателем.
Этап 35.5.2
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 35.5.3
Перепишем в разложенном на множители виде.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 35.5.3.1
Перепишем в виде .
Этап 35.5.3.2
Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, , где и .
Этап 35.5.4
Перепишем в виде .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 35.5.4.1
Вынесем полную степень из .
Этап 35.5.4.2
Вынесем полную степень из .
Этап 35.5.4.3
Перегруппируем дробь .
Этап 35.5.5
Вынесем члены из-под знака корня.
Этап 35.5.6
Объединим и .
Этап 35.6
Объединим и .
Этап 35.7
Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 35.7.1
Сократим выражение путем отбрасывания общих множителей.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 35.7.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 35.7.1.2
Перепишем это выражение.
Этап 35.7.2
Разделим на .
Этап 35.8
Умножим на .
Этап 35.9
Объединим и упростим знаменатель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 35.9.1
Умножим на .
Этап 35.9.2
Возведем в степень .
Этап 35.9.3
Возведем в степень .
Этап 35.9.4
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 35.9.5
Добавим и .
Этап 35.9.6
Перепишем в виде .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 35.9.6.1
С помощью запишем в виде .
Этап 35.9.6.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 35.9.6.3
Объединим и .
Этап 35.9.6.4
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 35.9.6.4.1
Сократим общий множитель.
Этап 35.9.6.4.2
Перепишем это выражение.
Этап 35.9.6.5
Упростим.
Этап 35.10
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 35.10.1
Сократим общий множитель.
Этап 35.10.2
Перепишем это выражение.
Этап 35.11
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 35.11.1
Сократим общий множитель.
Этап 35.11.2
Разделим на .