Математический анализ Примеры

$y = \sqrt{x} e^{x^{2}} {(x^{2} + 1)}^{10}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} e^{x^{2}} {(x^{2} + 1)}^{10}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}} e^{x^{2}}$ и $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{10}$ .

$x^{\frac{1}{2}} e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{10}] + {(x^{2} + 1)}^{10} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} e^{x^{2}}]$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{10}$ и $g (x) = x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{2} + 1$ .

$x^{\frac{1}{2}} e^{x^{2}} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{10}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{10} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} e^{x^{2}}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 10$ .

$x^{\frac{1}{2}} e^{x^{2}} (10 {u_{1}}^{9} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{10} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} e^{x^{2}}]$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{2} + 1$ .

$x^{\frac{1}{2}} e^{x^{2}} (10 {(x^{2} + 1)}^{9} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{10} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} e^{x^{2}}]$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$x^{\frac{1}{2}} e^{x^{2}} (10 {(x^{2} + 1)}^{9} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])) + {(x^{2} + 1)}^{10} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} e^{x^{2}}]$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{\frac{1}{2}} e^{x^{2}} (10 {(x^{2} + 1)}^{9} (2 x + \frac{d}{d x} [1])) + {(x^{2} + 1)}^{10} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} e^{x^{2}}]$

Этап 4.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} e^{x^{2}} (10 {(x^{2} + 1)}^{9} (2 x + 0)) + {(x^{2} + 1)}^{10} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} e^{x^{2}}]$

Этап 4.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} e^{x^{2}} (10 {(x^{2} + 1)}^{9} (2 x)) + {(x^{2} + 1)}^{10} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} e^{x^{2}}]$

Этап 4.4.2

Умножим $2$ на $10$ .

$x^{\frac{1}{2}} e^{x^{2}} (20 {(x^{2} + 1)}^{9} x) + {(x^{2} + 1)}^{10} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} e^{x^{2}}]$

Этап 5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{1} x^{\frac{1}{2}} e^{x^{2}} (20 {(x^{2} + 1)}^{9}) + {(x^{2} + 1)}^{10} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} e^{x^{2}}]$

Этап 6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{1 + \frac{1}{2}} e^{x^{2}} (20 {(x^{2} + 1)}^{9}) + {(x^{2} + 1)}^{10} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} e^{x^{2}}]$

Этап 7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} e^{x^{2}} (20 {(x^{2} + 1)}^{9}) + {(x^{2} + 1)}^{10} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} e^{x^{2}}]$

Этап 7.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x^{\frac{2 + 1}{2}} e^{x^{2}} (20 {(x^{2} + 1)}^{9}) + {(x^{2} + 1)}^{10} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} e^{x^{2}}]$

Этап 7.3

Добавим $2$ и $1$ .

$x^{\frac{3}{2}} e^{x^{2}} (20 {(x^{2} + 1)}^{9}) + {(x^{2} + 1)}^{10} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} e^{x^{2}}]$

Этап 8

$x^{\frac{3}{2}} e^{x^{2}} (20 {(x^{2} + 1)}^{9}) + {(x^{2} + 1)}^{10} (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 9

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} e^{x^{2}} (20 {(x^{2} + 1)}^{9}) + {(x^{2} + 1)}^{10} (x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 9.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$x^{\frac{3}{2}} e^{x^{2}} (20 {(x^{2} + 1)}^{9}) + {(x^{2} + 1)}^{10} (x^{\frac{1}{2}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 9.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} e^{x^{2}} (20 {(x^{2} + 1)}^{9}) + {(x^{2} + 1)}^{10} (x^{\frac{1}{2}} (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{\frac{3}{2}} e^{x^{2}} (20 {(x^{2} + 1)}^{9}) + {(x^{2} + 1)}^{10} (x^{\frac{1}{2}} (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 11

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Перенесем $x$ .

$x^{\frac{3}{2}} e^{x^{2}} (20 {(x^{2} + 1)}^{9}) + {(x^{2} + 1)}^{10} (x \cdot x^{\frac{1}{2}} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 11.2

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{\frac{3}{2}} e^{x^{2}} (20 {(x^{2} + 1)}^{9}) + {(x^{2} + 1)}^{10} (x^{1} x^{\frac{1}{2}} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 11.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{\frac{3}{2}} e^{x^{2}} (20 {(x^{2} + 1)}^{9}) + {(x^{2} + 1)}^{10} (x^{1 + \frac{1}{2}} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 11.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$x^{\frac{3}{2}} e^{x^{2}} (20 {(x^{2} + 1)}^{9}) + {(x^{2} + 1)}^{10} (x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 11.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$x^{\frac{3}{2}} e^{x^{2}} (20 {(x^{2} + 1)}^{9}) + {(x^{2} + 1)}^{10} (x^{\frac{2 + 1}{2}} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 11.5

Добавим $2$ и $1$ .

$x^{\frac{3}{2}} e^{x^{2}} (20 {(x^{2} + 1)}^{9}) + {(x^{2} + 1)}^{10} (x^{\frac{3}{2}} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 12

Перенесем $2$ влево от $e^{x^{2}}$ .

$x^{\frac{3}{2}} e^{x^{2}} (20 {(x^{2} + 1)}^{9}) + {(x^{2} + 1)}^{10} (x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} e^{x^{2}} (20 {(x^{2} + 1)}^{9}) + {(x^{2} + 1)}^{10} (x^{\frac{3}{2}} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Этап 14

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} e^{x^{2}} (20 {(x^{2} + 1)}^{9}) + {(x^{2} + 1)}^{10} (x^{\frac{3}{2}} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Этап 15

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} e^{x^{2}} (20 {(x^{2} + 1)}^{9}) + {(x^{2} + 1)}^{10} (x^{\frac{3}{2}} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Этап 16

Объединим числители над общим знаменателем.

$x^{\frac{3}{2}} e^{x^{2}} (20 {(x^{2} + 1)}^{9}) + {(x^{2} + 1)}^{10} (x^{\frac{3}{2}} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Этап 17

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$x^{\frac{3}{2}} e^{x^{2}} (20 {(x^{2} + 1)}^{9}) + {(x^{2} + 1)}^{10} (x^{\frac{3}{2}} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Этап 17.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$x^{\frac{3}{2}} e^{x^{2}} (20 {(x^{2} + 1)}^{9}) + {(x^{2} + 1)}^{10} (x^{\frac{3}{2}} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Этап 18

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{\frac{3}{2}} e^{x^{2}} (20 {(x^{2} + 1)}^{9}) + {(x^{2} + 1)}^{10} (x^{\frac{3}{2}} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Этап 19

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{3}{2}} e^{x^{2}} (20 {(x^{2} + 1)}^{9}) + {(x^{2} + 1)}^{10} (x^{\frac{3}{2}} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Этап 20

Объединим $e^{x^{2}}$ и $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} e^{x^{2}} (20 {(x^{2} + 1)}^{9}) + {(x^{2} + 1)}^{10} (x^{\frac{3}{2}} (2 e^{x^{2}}) + \frac{e^{x^{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Этап 21

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{3}{2}} e^{x^{2}} (20 {(x^{2} + 1)}^{9}) + {(x^{2} + 1)}^{10} (x^{\frac{3}{2}} (2 e^{x^{2}}) + \frac{e^{x^{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 22

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1

Изменим порядок членов.

$20 e^{x^{2}} x^{\frac{3}{2}} {(x^{2} + 1)}^{9} + {(x^{2} + 1)}^{10} (x^{\frac{3}{2}} (2 e^{x^{2}}) + \frac{e^{x^{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 22.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$20 e^{x^{2}} x^{\frac{3}{2}} {(x^{2} + 1)}^{9} + {(x^{2} + 1)}^{10} (2 x^{\frac{3}{2}} e^{x^{2}} + \frac{e^{x^{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 22.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$20 e^{x^{2}} x^{\frac{3}{2}} {(x^{2} + 1)}^{9} + {(x^{2} + 1)}^{10} (2 x^{\frac{3}{2}} e^{x^{2}}) + {(x^{2} + 1)}^{10} \frac{e^{x^{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.2.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$20 e^{x^{2}} x^{\frac{3}{2}} {(x^{2} + 1)}^{9} + 2 {(x^{2} + 1)}^{10} x^{\frac{3}{2}} e^{x^{2}} + {(x^{2} + 1)}^{10} \frac{e^{x^{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.2.4

Объединим ${(x^{2} + 1)}^{10}$ и $\frac{e^{x^{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$20 e^{x^{2}} x^{\frac{3}{2}} {(x^{2} + 1)}^{9} + 2 {(x^{2} + 1)}^{10} x^{\frac{3}{2}} e^{x^{2}} + \frac{{(x^{2} + 1)}^{10} e^{x^{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.2.5

Чтобы записать $2 {(x^{2} + 1)}^{10} x^{\frac{3}{2}} e^{x^{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$20 e^{x^{2}} x^{\frac{3}{2}} {(x^{2} + 1)}^{9} + 2 {(x^{2} + 1)}^{10} x^{\frac{3}{2}} e^{x^{2}} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x^{2} + 1)}^{10} e^{x^{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.2.6

Объединим $2 {(x^{2} + 1)}^{10} x^{\frac{3}{2}} e^{x^{2}}$ и $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$20 e^{x^{2}} x^{\frac{3}{2}} {(x^{2} + 1)}^{9} + \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{10} x^{\frac{3}{2}} e^{x^{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x^{2} + 1)}^{10} e^{x^{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$20 e^{x^{2}} x^{\frac{3}{2}} {(x^{2} + 1)}^{9} + \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{10} x^{\frac{3}{2}} e^{x^{2}} (2 x^{\frac{1}{2}}) + {(x^{2} + 1)}^{10} e^{x^{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.2.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.2.8.1

Вынесем множитель ${(x^{2} + 1)}^{10} e^{x^{2}}$ из $2 {(x^{2} + 1)}^{10} x^{\frac{3}{2}} e^{x^{2}} (2 x^{\frac{1}{2}}) + {(x^{2} + 1)}^{10} e^{x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.2.8.1.1

Вынесем множитель ${(x^{2} + 1)}^{10} e^{x^{2}}$ из $2 {(x^{2} + 1)}^{10} x^{\frac{3}{2}} e^{x^{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})$ .

$20 e^{x^{2}} x^{\frac{3}{2}} {(x^{2} + 1)}^{9} + \frac{{(x^{2} + 1)}^{10} e^{x^{2}} (2 x^{\frac{3}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})) + {(x^{2} + 1)}^{10} e^{x^{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.2.8.1.2

Вынесем множитель ${(x^{2} + 1)}^{10} e^{x^{2}}$ из ${(x^{2} + 1)}^{10} e^{x^{2}}$ .

$20 e^{x^{2}} x^{\frac{3}{2}} {(x^{2} + 1)}^{9} + \frac{{(x^{2} + 1)}^{10} e^{x^{2}} (2 x^{\frac{3}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})) + {(x^{2} + 1)}^{10} e^{x^{2}} (1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.2.8.1.3

Вынесем множитель ${(x^{2} + 1)}^{10} e^{x^{2}}$ из ${(x^{2} + 1)}^{10} e^{x^{2}} (2 x^{\frac{3}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})) + {(x^{2} + 1)}^{10} e^{x^{2}} (1)$ .

$20 e^{x^{2}} x^{\frac{3}{2}} {(x^{2} + 1)}^{9} + \frac{{(x^{2} + 1)}^{10} e^{x^{2}} (2 x^{\frac{3}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}}) + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.2.8.2

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.2.8.2.1

Умножим $2$ на $2$ .

$20 e^{x^{2}} x^{\frac{3}{2}} {(x^{2} + 1)}^{9} + \frac{{(x^{2} + 1)}^{10} e^{x^{2}} (4 x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.2.8.2.2

Умножим $x^{\frac{3}{2}}$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.2.8.2.2.1

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ .

$20 e^{x^{2}} x^{\frac{3}{2}} {(x^{2} + 1)}^{9} + \frac{{(x^{2} + 1)}^{10} e^{x^{2}} (4 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}) + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.2.8.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$20 e^{x^{2}} x^{\frac{3}{2}} {(x^{2} + 1)}^{9} + \frac{{(x^{2} + 1)}^{10} e^{x^{2}} (4 x^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}} + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.2.8.2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$20 e^{x^{2}} x^{\frac{3}{2}} {(x^{2} + 1)}^{9} + \frac{{(x^{2} + 1)}^{10} e^{x^{2}} (4 x^{\frac{1 + 3}{2}} + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.2.8.2.2.4

Добавим $1$ и $3$ .

$20 e^{x^{2}} x^{\frac{3}{2}} {(x^{2} + 1)}^{9} + \frac{{(x^{2} + 1)}^{10} e^{x^{2}} (4 x^{\frac{4}{2}} + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.2.8.2.2.5

Разделим $4$ на $2$ .

$20 e^{x^{2}} x^{\frac{3}{2}} {(x^{2} + 1)}^{9} + \frac{{(x^{2} + 1)}^{10} e^{x^{2}} (4 x^{2} + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.3

Чтобы записать $20 e^{x^{2}} x^{\frac{3}{2}} {(x^{2} + 1)}^{9}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$20 e^{x^{2}} x^{\frac{3}{2}} {(x^{2} + 1)}^{9} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x^{2} + 1)}^{10} e^{x^{2}} (4 x^{2} + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.4

Объединим $20 e^{x^{2}} x^{\frac{3}{2}} {(x^{2} + 1)}^{9}$ и $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{20 e^{x^{2}} x^{\frac{3}{2}} {(x^{2} + 1)}^{9} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x^{2} + 1)}^{10} e^{x^{2}} (4 x^{2} + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{20 e^{x^{2}} x^{\frac{3}{2}} {(x^{2} + 1)}^{9} (2 x^{\frac{1}{2}}) + {(x^{2} + 1)}^{10} e^{x^{2}} (4 x^{2} + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.6.1

Вынесем множитель ${(x^{2} + 1)}^{9}$ из $20 e^{x^{2}} x^{\frac{3}{2}} {(x^{2} + 1)}^{9} (2 x^{\frac{1}{2}}) + {(x^{2} + 1)}^{10} e^{x^{2}} (4 x^{2} + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.6.1.1

Вынесем множитель ${(x^{2} + 1)}^{9}$ из $20 e^{x^{2}} x^{\frac{3}{2}} {(x^{2} + 1)}^{9} (2 x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{9} (20 e^{x^{2}} x^{\frac{3}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})) + {(x^{2} + 1)}^{10} e^{x^{2}} (4 x^{2} + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.6.1.2

Вынесем множитель ${(x^{2} + 1)}^{9}$ из ${(x^{2} + 1)}^{10} e^{x^{2}} (4 x^{2} + 1)$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{9} (20 e^{x^{2}} x^{\frac{3}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})) + {(x^{2} + 1)}^{9} ((x^{2} + 1) e^{x^{2}} (4 x^{2} + 1))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.6.1.3

Вынесем множитель ${(x^{2} + 1)}^{9}$ из ${(x^{2} + 1)}^{9} (20 e^{x^{2}} x^{\frac{3}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})) + {(x^{2} + 1)}^{9} ((x^{2} + 1) e^{x^{2}} (4 x^{2} + 1))$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{9} (20 e^{x^{2}} x^{\frac{3}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}}) + (x^{2} + 1) e^{x^{2}} (4 x^{2} + 1))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.6.2

Вынесем множитель $e^{x^{2}}$ из $20 e^{x^{2}} x^{\frac{3}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}}) + (x^{2} + 1) e^{x^{2}} (4 x^{2} + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.6.2.1

Вынесем множитель $e^{x^{2}}$ из $20 e^{x^{2}} x^{\frac{3}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{9} (e^{x^{2}} (20 x^{\frac{3}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})) + (x^{2} + 1) e^{x^{2}} (4 x^{2} + 1))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.6.2.2

Вынесем множитель $e^{x^{2}}$ из $(x^{2} + 1) e^{x^{2}} (4 x^{2} + 1)$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{9} (e^{x^{2}} (20 x^{\frac{3}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})) + e^{x^{2}} ((x^{2} + 1) (4 x^{2} + 1)))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.6.2.3

Вынесем множитель $e^{x^{2}}$ из $e^{x^{2}} (20 x^{\frac{3}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})) + e^{x^{2}} ((x^{2} + 1) (4 x^{2} + 1))$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{9} (e^{x^{2}} (20 x^{\frac{3}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}}) + (x^{2} + 1) (4 x^{2} + 1)))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.6.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{9} (e^{x^{2}} (20 \cdot 2 x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}} + (x^{2} + 1) (4 x^{2} + 1)))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.6.4

Умножим $x^{\frac{3}{2}}$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.6.4.1

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{9} (e^{x^{2}} (20 \cdot 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}) + (x^{2} + 1) (4 x^{2} + 1)))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.6.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{9} (e^{x^{2}} (20 \cdot 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}} + (x^{2} + 1) (4 x^{2} + 1)))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.6.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{9} (e^{x^{2}} (20 \cdot 2 x^{\frac{1 + 3}{2}} + (x^{2} + 1) (4 x^{2} + 1)))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.6.4.4

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{9} (e^{x^{2}} (20 \cdot 2 x^{\frac{4}{2}} + (x^{2} + 1) (4 x^{2} + 1)))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.6.4.5

Разделим $4$ на $2$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{9} (e^{x^{2}} (20 \cdot 2 x^{2} + (x^{2} + 1) (4 x^{2} + 1)))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.6.5

Умножим $20$ на $2$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{9} (e^{x^{2}} (40 x^{2} + (x^{2} + 1) (4 x^{2} + 1)))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.6.6

Развернем $(x^{2} + 1) (4 x^{2} + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.6.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{9} (e^{x^{2}} (40 x^{2} + x^{2} (4 x^{2} + 1) + 1 (4 x^{2} + 1)))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.6.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{9} (e^{x^{2}} (40 x^{2} + x^{2} (4 x^{2}) + x^{2} \cdot 1 + 1 (4 x^{2} + 1)))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.6.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{9} (e^{x^{2}} (40 x^{2} + x^{2} (4 x^{2}) + x^{2} \cdot 1 + 1 (4 x^{2}) + 1 \cdot 1))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.6.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.6.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.6.7.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{9} (e^{x^{2}} (40 x^{2} + 4 x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (4 x^{2}) + 1 \cdot 1))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.6.7.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.6.7.1.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{9} (e^{x^{2}} (40 x^{2} + 4 (x^{2} x^{2}) + x^{2} \cdot 1 + 1 (4 x^{2}) + 1 \cdot 1))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.6.7.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{9} (e^{x^{2}} (40 x^{2} + 4 x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (4 x^{2}) + 1 \cdot 1))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.6.7.1.2.3

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{9} (e^{x^{2}} (40 x^{2} + 4 x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 (4 x^{2}) + 1 \cdot 1))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.6.7.1.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{9} (e^{x^{2}} (40 x^{2} + 4 x^{4} + x^{2} + 1 (4 x^{2}) + 1 \cdot 1))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.6.7.1.4

Умножим $4 x^{2}$ на $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{9} (e^{x^{2}} (40 x^{2} + 4 x^{4} + x^{2} + 4 x^{2} + 1 \cdot 1))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.6.7.1.5

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{9} (e^{x^{2}} (40 x^{2} + 4 x^{4} + x^{2} + 4 x^{2} + 1))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.6.7.2

Добавим $x^{2}$ и $4 x^{2}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{9} (e^{x^{2}} (40 x^{2} + 4 x^{4} + 5 x^{2} + 1))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.6.8

Добавим $40 x^{2}$ и $5 x^{2}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{9} e^{x^{2}} (4 x^{4} + 45 x^{2} + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.7

Изменим порядок множителей в $\frac{{(x^{2} + 1)}^{9} e^{x^{2}} (4 x^{4} + 45 x^{2} + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{e^{x^{2}} {(x^{2} + 1)}^{9} (4 x^{4} + 45 x^{2} + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$