Математический анализ Примеры

$y = \sqrt[3]{24 x^{2} + 8}$

Этап 1

Перепишем $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{24 x^{2} + 8}]$ в виде $\frac{d}{d x} [2 \sqrt[3]{3 x^{2} + 1}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $24 x^{2} + 8$ в виде $2^{3} (3 x^{2} + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $8$ из $24 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{8 (3 x^{2}) + 8}]$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $8$ из $8$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{8 (3 x^{2}) + 8 (1)}]$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $8$ из $8 (3 x^{2}) + 8 (1)$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{8 (3 x^{2} + 1)}]$

Этап 1.1.4

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2^{3} (3 x^{2} + 1)}]$

Этап 1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{d}{d x} [2 \sqrt[3]{3 x^{2} + 1}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{3 x^{2} + 1}$ в виде ${(3 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]$

Этап 2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ и $g (x) = 3 x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x^{2} + 1$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x^{2} + 1$ .

$2 (\frac{1}{3} {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 (\frac{1}{3} {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$2 (\frac{1}{3} {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Этап 7.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$2 (\frac{1}{3} {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Этап 8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 (\frac{1}{3} {(3 x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Этап 8.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и ${(3 x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$2 (\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Этап 8.3

Перенесем ${(3 x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (\frac{1}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Этап 8.4

Объединим $\frac{1}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ и $2$ .

$\frac{2}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1]$

Этап 9

По правилу суммы производная $3 x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 10

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{2}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 12

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{2}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (6 x + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 13

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (6 x + 0)$

Этап 14

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Добавим $6 x$ и $0$ .

$\frac{2}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (6 x)$

Этап 14.2

Объединим $6$ и $\frac{2}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{6 \cdot 2}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} x$

Этап 14.3

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{12}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} x$

Этап 14.4

Объединим $\frac{12}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ и $x$ .

$\frac{12 x}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 14.5

Вынесем множитель $3$ из $12 x$ .

$\frac{3 (4 x)}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Вынесем множитель $3$ из $3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 (4 x)}{3 ({(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}})}$

Этап 15.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (4 x)}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$