Математический анализ Примеры

$y = x^{\ln (4 x)}$

Этап 1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить дифференцирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $x^{\ln (4 x)}$ в виде $e^{\ln (x^{\ln (4 x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\ln (4 x)})}]$

Этап 1.2

Развернем $\ln (x^{\ln (4 x)})$ , вынося $\ln (4 x)$ из логарифма.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (4 x) \ln (x)}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = \ln (4 x) \ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\ln (4 x) \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\ln (4 x) \ln (x)]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (4 x) \ln (x)]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\ln (4 x) \ln (x)$ .

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (4 x) \ln (x)]$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \ln (4 x)$ и $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\ln (4 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (4 x)])$

Этап 4

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\ln (4 x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (4 x)])$

Этап 5

Объединим $\ln (4 x)$ и $\frac{1}{x}$ .

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (4 x)])$

Этап 6

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $4 x$ .

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x]))$

Этап 6.2

Производная $\ln (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \ln (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [4 x]))$

Этап 6.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $4 x$ .

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \ln (x) (\frac{1}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]))$

Этап 7

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{4 x}$ и $\ln (x)$ .

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \frac{\ln (x)}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])$

Этап 7.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \frac{\ln (x)}{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 7.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Объединим $4$ и $\frac{\ln (x)}{4 x}$ .

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \frac{4 \ln (x)}{4 x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 7.3.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Сократим общий множитель.

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \frac{4 \ln (x)}{4 x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 7.3.2.2

Перепишем это выражение.

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \frac{\ln (x)}{x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 7.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \frac{\ln (x)}{x} \cdot 1)$

Этап 7.5

Умножим $\frac{\ln (x)}{x}$ на $1$ .

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \frac{\ln (x)}{x})$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} \frac{\ln (4 x)}{x} + e^{\ln (4 x) \ln (x)} \frac{\ln (x)}{x}$

Этап 8.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Объединим $e^{\ln (4 x) \ln (x)}$ и $\frac{\ln (4 x)}{x}$ .

$\frac{e^{\ln (4 x) \ln (x)} \ln (4 x)}{x} + e^{\ln (4 x) \ln (x)} \frac{\ln (x)}{x}$

Этап 8.2.2

Объединим $e^{\ln (4 x) \ln (x)}$ и $\frac{\ln (x)}{x}$ .

$\frac{e^{\ln (4 x) \ln (x)} \ln (4 x)}{x} + \frac{e^{\ln (4 x) \ln (x)} \ln (x)}{x}$