Математический анализ Примеры

$y = \frac{x + 5}{x^{3} + x - 4}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x + 5$ и $g (x) = x^{3} + x - 4$ .

$\frac{(x^{3} + x - 4) \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} + x - 4]}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{(x^{3} + x - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} + x - 4]}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x^{3} + x - 4) (1 + \frac{d}{d x} [5]) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} + x - 4]}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Этап 2.3

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x^{3} + x - 4) (1 + 0) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} + x - 4]}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Этап 2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{(x^{3} + x - 4) \cdot 1 - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} + x - 4]}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Этап 2.4.2

Умножим $x^{3} + x - 4$ на $1$ .

$\frac{x^{3} + x - 4 - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} + x - 4]}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Этап 2.5

По правилу суммы производная $x^{3} + x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{x^{3} + x - 4 - (x + 5) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{x^{3} + x - 4 - (x + 5) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Этап 2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x^{3} + x - 4 - (x + 5) (3 x^{2} + 1 + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Этап 2.8

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x^{3} + x - 4 - (x + 5) (3 x^{2} + 1 + 0)}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Этап 2.9

Добавим $3 x^{2} + 1$ и $0$ .

$\frac{x^{3} + x - 4 - (x + 5) (3 x^{2} + 1)}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{3} + x - 4 + (- x - 1 \cdot 5) (3 x^{2} + 1)}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Этап 3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{x^{3} + x - 4 + (- x - 5) (3 x^{2} + 1)}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2

Развернем $(- x - 5) (3 x^{2} + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{3} + x - 4 - x (3 x^{2} + 1) - 5 (3 x^{2} + 1)}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{3} + x - 4 - x (3 x^{2}) - x \cdot 1 - 5 (3 x^{2} + 1)}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{3} + x - 4 - x (3 x^{2}) - x \cdot 1 - 5 (3 x^{2}) - 5 \cdot 1}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Этап 3.2.1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{x^{3} + x - 4 - 1 \cdot 3 x \cdot x^{2} - x \cdot 1 - 5 (3 x^{2}) - 5 \cdot 1}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Этап 3.2.1.3.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + x - 4 - 1 \cdot 3 (x^{2} x) - x \cdot 1 - 5 (3 x^{2}) - 5 \cdot 1}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Этап 3.2.1.3.2.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{3} + x - 4 - 1 \cdot 3 (x^{2} x^{1}) - x \cdot 1 - 5 (3 x^{2}) - 5 \cdot 1}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Этап 3.2.1.3.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{3} + x - 4 - 1 \cdot 3 x^{2 + 1} - x \cdot 1 - 5 (3 x^{2}) - 5 \cdot 1}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Этап 3.2.1.3.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{x^{3} + x - 4 - 1 \cdot 3 x^{3} - x \cdot 1 - 5 (3 x^{2}) - 5 \cdot 1}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Этап 3.2.1.3.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{x^{3} + x - 4 - 3 x^{3} - x \cdot 1 - 5 (3 x^{2}) - 5 \cdot 1}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Этап 3.2.1.3.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{x^{3} + x - 4 - 3 x^{3} - x - 5 (3 x^{2}) - 5 \cdot 1}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Этап 3.2.1.3.5

Умножим $3$ на $- 5$ .

$\frac{x^{3} + x - 4 - 3 x^{3} - x - 15 x^{2} - 5 \cdot 1}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Этап 3.2.1.3.6

Умножим $- 5$ на $1$ .

$\frac{x^{3} + x - 4 - 3 x^{3} - x - 15 x^{2} - 5}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Этап 3.2.2

Объединим противоположные члены в $x^{3} + x - 4 - 3 x^{3} - x - 15 x^{2} - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{x^{3} - 4 - 3 x^{3} + 0 - 15 x^{2} - 5}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Этап 3.2.2.2

Добавим $x^{3} - 4 - 3 x^{3}$ и $0$ .

$\frac{x^{3} - 4 - 3 x^{3} - 15 x^{2} - 5}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Этап 3.2.3

Вычтем $3 x^{3}$ из $x^{3}$ .

$\frac{- 2 x^{3} - 4 - 15 x^{2} - 5}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Этап 3.2.4

Вычтем $5$ из $- 4$ .

$\frac{- 2 x^{3} - 15 x^{2} - 9}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Этап 3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x^{3}$ .

$\frac{- (2 x^{3}) - 15 x^{2} - 9}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Этап 3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 15 x^{2}$ .

$\frac{- (2 x^{3}) - (15 x^{2}) - 9}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Этап 3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x^{3}) - (15 x^{2})$ .

$\frac{- (2 x^{3} + 15 x^{2}) - 9}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Этап 3.6

Перепишем $- 9$ в виде $- 1 (9)$ .

$\frac{- (2 x^{3} + 15 x^{2}) - 1 (9)}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Этап 3.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x^{3} + 15 x^{2}) - 1 (9)$ .

$\frac{- (2 x^{3} + 15 x^{2} + 9)}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Этап 3.8

Перепишем $- (2 x^{3} + 15 x^{2} + 9)$ в виде $- 1 (2 x^{3} + 15 x^{2} + 9)$ .

$\frac{- 1 (2 x^{3} + 15 x^{2} + 9)}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Этап 3.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 x^{3} + 15 x^{2} + 9}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$