Математический анализ Примеры

$y = \frac{x + 1}{2 x - 1}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x + 1$ и $g (x) = 2 x - 1$ .

$\frac{(2 x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(2 x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 2.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(2 x - 1) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{(2 x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 2.4.2

Умножим $2 x - 1$ на $1$ .

$\frac{2 x - 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 2.5

По правилу суммы производная $2 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 x - 1 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 2.6

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 x - 1 - (x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2 x - 1 - (x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 2.8

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{2 x - 1 - (x + 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 2.9

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2 x - 1 - (x + 1) (2 + 0)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 2.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{2 x - 1 - (x + 1) \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 2.10.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2 x - 1 - 2 (x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x - 1 - 2 x - 2 \cdot 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим противоположные члены в $2 x - 1 - 2 x - 2 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Вычтем $2 x$ из $2 x$ .

$\frac{0 - 1 - 2 \cdot 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$\frac{- 1 - 2 \cdot 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{- 1 - 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.3

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$\frac{- 3}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3}{{(2 x - 1)}^{2}}$