Математический анализ Примеры

$y = \sqrt{1 + 2 e^{3 x}}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 + 2 e^{3 x}}$ в виде ${(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 1 + 2 e^{3 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $1 + 2 e^{3 x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + 2 e^{3 x}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 2 e^{3 x}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $1 + 2 e^{3 x}$ .

$\frac{1}{2} {(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 2 e^{3 x}]$

Этап 3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 2 e^{3 x}]$

Этап 4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 2 e^{3 x}]$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 2 e^{3 x}]$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 2 e^{3 x}]$

Этап 6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 2 e^{3 x}]$

Этап 7

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(1 + 2 e^{3 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 2 e^{3 x}]$

Этап 7.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(1 + 2 e^{3 x})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 + 2 e^{3 x})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + 2 e^{3 x}]$

Этап 7.2.2

Перенесем ${(1 + 2 e^{3 x})}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + 2 e^{3 x}]$

Этап 7.3

По правилу суммы производная $1 + 2 e^{3 x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 e^{3 x}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 e^{3 x}])$

Этап 7.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2 {(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [2 e^{3 x}])$

Этап 7.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [2 e^{3 x}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 e^{3 x}]$

Этап 7.6

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 e^{3 x}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [e^{3 x}])$

Этап 7.7

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2 {(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Этап 7.7.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{2 {(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Этап 7.7.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{{(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Этап 8

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $3 x$ .

$\frac{1}{{(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 8.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{1}{{(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 8.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $3 x$ .

$\frac{1}{{(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 9

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $e^{3 x}$ и $\frac{1}{{(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{e^{3 x}}{{(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 9.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{3 x}}{{(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} (3 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 9.3

Объединим $3$ и $\frac{e^{3 x}}{{(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 e^{3 x}}{{(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 9.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{3 e^{3 x}}{{(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Этап 9.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Умножим $\frac{3 e^{3 x}}{{(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}}$ на $1$ .

$\frac{3 e^{3 x}}{{(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.5.2

Изменим порядок членов.

$\frac{3 e^{3 x}}{{(2 e^{3 x} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$