Математический анализ Примеры

$y = arcsec (3 x^{3})$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = arcsec (x)$ и $g (x) = 3 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x^{3}$ .

$\frac{d}{d u} [arcsec (u)] \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Этап 1.2

Производная $arcsec (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ .

$\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x^{3}$ .

$\frac{1}{3 x^{3} \sqrt{{(3 x^{3})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{3}$ .

$\frac{1}{3 x^{3} \sqrt{{(3 (x^{3}))}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Этап 2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим правило умножения к $3 (x^{3})$ .

$\frac{1}{3 x^{3} \sqrt{3^{2} {(x^{3})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Этап 2.2.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{1}{3 x^{3} \sqrt{9 {(x^{3})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Этап 2.2.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3 x^{3} \sqrt{9 x^{3 \cdot 2} - 1}} \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Этап 2.2.3.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{1}{3 x^{3} \sqrt{9 x^{6} - 1}} \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Этап 2.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{3}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3 x^{3} \sqrt{9 x^{6} - 1}} (3 \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 2.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{3 x^{3} \sqrt{9 x^{6} - 1}}$ .

$\frac{3}{3 x^{3} \sqrt{9 x^{6} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.4.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{3 x^{3} \sqrt{9 x^{6} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.4.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x^{3} \sqrt{9 x^{6} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{x^{3} \sqrt{9 x^{6} - 1}} (3 x^{2})$

Этап 2.6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{x^{3} \sqrt{9 x^{6} - 1}}$ .

$\frac{3}{x^{3} \sqrt{9 x^{6} - 1}} x^{2}$

Этап 2.6.2

Объединим $\frac{3}{x^{3} \sqrt{9 x^{6} - 1}}$ и $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{x^{3} \sqrt{9 x^{6} - 1}}$

Этап 2.6.3

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $3 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3}{x^{3} \sqrt{9 x^{6} - 1}}$

Этап 2.6.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3} \sqrt{9 x^{6} - 1}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} (x \sqrt{9 x^{6} - 1})}$

Этап 2.6.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} (x \sqrt{9 x^{6} - 1})}$

Этап 2.6.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{x \sqrt{9 x^{6} - 1}}$