Математический анализ Примеры

$y = e^{- x} \cos (2 x)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = e^{- x}$ и $g (x) = \cos (2 x)$ .

$e^{- x} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 x$ .

$e^{- x} (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 2.2

Производная $\cos (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \sin (u_{1})$ .

$e^{- x} (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$e^{- x} (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{- x} (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 3.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$e^{- x} (- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{- x} (- 2 \sin (2 x) \cdot 1) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 3.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$e^{- x} (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $- x$ .

$e^{- x} (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{- x} (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- x$ .

$e^{- x} (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{- x} (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{- x} (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Этап 5.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e^{- x} (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) (e^{- x} \cdot - 1)$

Этап 5.3.2

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$e^{- x} (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) (- 1 \cdot e^{- x})$

Этап 5.3.3

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$e^{- x} (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) (- e^{- x})$

Этап 5.3.4

Изменим порядок членов.

$- 2 e^{- x} \sin (2 x) - e^{- x} \cos (2 x)$