Математический анализ Примеры

$y = \ln ({(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}})$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как ${(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на ${(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}$ .

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} \frac{d}{d x} [{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}]$

Этап 2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $3 x^{4} + 5 x$ .

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{9}{7}}] \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{9}{7}$ .

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9}{7} {u_{2}}^{\frac{9}{7} - 1} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $3 x^{4} + 5 x$ .

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9}{7} {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7} - 1} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

Этап 3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{7}{7}$ .

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9}{7} {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

Этап 4

Объединим $- 1$ и $\frac{7}{7}$ .

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9}{7} {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9}{7} {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9 - 1 \cdot 7}{7}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $7$ .

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9}{7} {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9 - 7}{7}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

Этап 6.2

Вычтем $7$ из $9$ .

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9}{7} {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{2}{7}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

Этап 7

Объединим $\frac{9}{7}$ и ${(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{2}{7}}$ .

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9 {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{2}{7}}}{7} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

Этап 8

Умножим $\frac{9 {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{2}{7}}}{7}$ на $\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}}$ .

$\frac{9 {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{2}{7}}}{7 {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

Этап 9

Перенесем ${(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{2}{7}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{9}{7 {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}} {(3 x^{4} + 5 x)}^{- \frac{2}{7}}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

Этап 10

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим ${(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}$ на ${(3 x^{4} + 5 x)}^{- \frac{2}{7}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Перенесем ${(3 x^{4} + 5 x)}^{- \frac{2}{7}}$ .

$\frac{9}{7 ({(3 x^{4} + 5 x)}^{- \frac{2}{7}} {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}})} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

Этап 10.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{9}{7 {(3 x^{4} + 5 x)}^{- \frac{2}{7} + \frac{9}{7}}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

Этап 10.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{9}{7 {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{- 2 + 9}{7}}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

Этап 10.1.4

Добавим $- 2$ и $9$ .

$\frac{9}{7 {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{7}{7}}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

Этап 10.1.5

Разделим $7$ на $7$ .

$\frac{9}{7 {(3 x^{4} + 5 x)}^{1}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

Этап 10.2

Упростим $7 {(3 x^{4} + 5 x)}^{1}$ .

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

Этап 11

По правилу суммы производная $3 x^{4} + 5 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x])$

Этап 12

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{4}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x])$

Этап 13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [5 x])$

Этап 14

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [5 x])$

Этап 15

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} (12 x^{3} + 5 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 16

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} (12 x^{3} + 5 \cdot 1)$

Этап 17

Умножим $5$ на $1$ .

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} (12 x^{3} + 5)$

Этап 18

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{9}{7 (3 x^{4}) + 7 (5 x)} (12 x^{3} + 5)$

Этап 18.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1

Умножим $3$ на $7$ .

$\frac{9}{21 x^{4} + 7 (5 x)} (12 x^{3} + 5)$

Этап 18.2.2

Умножим $5$ на $7$ .

$\frac{9}{21 x^{4} + 35 x} (12 x^{3} + 5)$

Этап 18.3

Изменим порядок множителей в $\frac{9}{21 x^{4} + 35 x} (12 x^{3} + 5)$ .

$(12 x^{3} + 5) \frac{9}{21 x^{4} + 35 x}$

Этап 18.4

Вынесем множитель $7 x$ из $21 x^{4} + 35 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.4.1

Вынесем множитель $7 x$ из $21 x^{4}$ .

$(12 x^{3} + 5) \frac{9}{7 x (3 x^{3}) + 35 x}$

Этап 18.4.2

Вынесем множитель $7 x$ из $35 x$ .

$(12 x^{3} + 5) \frac{9}{7 x (3 x^{3}) + 7 x (5)}$

Этап 18.4.3

Вынесем множитель $7 x$ из $7 x (3 x^{3}) + 7 x (5)$ .

$(12 x^{3} + 5) \frac{9}{7 x (3 x^{3} + 5)}$

Этап 18.5

Умножим $12 x^{3} + 5$ на $\frac{9}{7 x (3 x^{3} + 5)}$ .

$\frac{(12 x^{3} + 5) \cdot 9}{7 x (3 x^{3} + 5)}$

Этап 18.6

Перенесем $9$ влево от $12 x^{3} + 5$ .

$\frac{9 (12 x^{3} + 5)}{7 x (3 x^{3} + 5)}$