Математический анализ Примеры

$y = \arctan ({(3 x)}^{2})$

Этап 1

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan ({(3 (x))}^{2})]$

Этап 1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим правило умножения к $3 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (3^{2} x^{2})]$

Этап 1.2.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (9 x^{2})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \arctan (x)$ и $g (x) = 9 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $9 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Этап 2.2

Производная $\arctan (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $9 x^{2}$ .

$\frac{1}{1 + {(9 x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $9$ из $9 x^{2}$ .

$\frac{1}{1 + {(9 (x^{2}))}^{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Этап 3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим правило умножения к $9 (x^{2})$ .

$\frac{1}{1 + 9^{2} {(x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Этап 3.2.2

Возведем $9$ в степень $2$ .

$\frac{1}{1 + 81 {(x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Этап 3.2.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + 81 x^{2 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Этап 3.2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{1 + 81 x^{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Этап 3.3

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x^{2}$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + 81 x^{4}} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.4

Объединим $9$ и $\frac{1}{1 + 81 x^{4}}$ .

$\frac{9}{1 + 81 x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{9}{1 + 81 x^{4}} (2 x)$

Этап 3.6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Объединим $2$ и $\frac{9}{1 + 81 x^{4}}$ .

$\frac{2 \cdot 9}{1 + 81 x^{4}} x$

Этап 3.6.2

Умножим $2$ на $9$ .

$\frac{18}{1 + 81 x^{4}} x$

Этап 3.6.3

Объединим $\frac{18}{1 + 81 x^{4}}$ и $x$ .

$\frac{18 x}{1 + 81 x^{4}}$

Этап 3.6.4

Изменим порядок членов.

$\frac{18 x}{81 x^{4} + 1}$