Математический анализ Примеры

$y = e^{4 \sqrt{x} + x^{2}}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}$ .

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} (\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} (4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} (4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} (4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 10

Объединим $4$ и $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} (\frac{4 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 11

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} (\frac{4}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 12

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} (\frac{2 \cdot 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 13

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} (\frac{2 \cdot 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 13.2

Сократим общий множитель.

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} (\frac{2 \cdot 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 13.3

Перепишем это выражение.

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} (\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 14

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} (\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 2 x)$