Математический анализ Примеры

$y = \ln (\frac{3}{x})$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \frac{3}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{3}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{3}{x}$ .

$\frac{1}{\frac{3}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

Этап 2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{3}{x}$ .

$1 \frac{x}{3} \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

Этап 3

Умножим $\frac{x}{3}$ на $1$ .

$\frac{x}{3} \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

Этап 4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3}{x}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{x}{3} (3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Этап 5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $3$ и $\frac{x}{3}$ .

$\frac{3 x}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 5.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 5.3

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$x \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Этап 6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$x (- x^{- 2})$

Этап 7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- (x^{1} x^{- 2})$

Этап 8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- x^{1 - 2}$

Этап 9

Вычтем $2$ из $1$ .

$- x^{- 1}$

Этап 10

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x}$