Математический анализ Примеры

$y = \ln (\sqrt[3]{\frac{x - 1}{x + 1}})$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{\frac{x - 1}{x + 1}}$ в виде ${(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln ({(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как ${(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}]$

Этап 2.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на ${(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}]$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ и $g (x) = \frac{x - 1}{x + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\frac{x - 1}{x + 1}$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\frac{x - 1}{x + 1}$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}])$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}])$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}])$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}])$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}])$

Этап 7.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}])$

Этап 8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}])$

Этап 9

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x - 1$ и $g (x) = x + 1$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}})$

Этап 10

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}})$

Этап 10.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}})$

Этап 10.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(x + 1) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}})$

Этап 10.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(x + 1) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}})$

Этап 10.4.2

Умножим $x + 1$ на $1$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{2}{3}} \frac{x + 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}})$

Этап 10.5

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{2}{3}} \frac{x + 1 - (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}})$

Этап 10.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{2}{3}} \frac{x + 1 - (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}})$

Этап 10.7

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{2}{3}} \frac{x + 1 - (x - 1) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}})$

Этап 10.8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.8.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{2}{3}} \frac{x + 1 - (x - 1) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}})$

Этап 10.8.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{2}{3}} \frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}})$

Этап 10.8.3

Умножим $\frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2} \cdot 3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{2}{3}})$

Этап 10.8.4

Перенесем $3$ влево от ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{x + 1 - (x - 1)}{3 \cdot {(x + 1)}^{2}} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{2}{3}})$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Изменим знак экспоненты, переписав основание в виде обратной величины.

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{x + 1 - (x - 1)}{3 {(x + 1)}^{2}} {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{\frac{2}{3}})$

Этап 11.2

Применим правило умножения к $\frac{x - 1}{x + 1}$ .

$\frac{1}{\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}} (\frac{x + 1 - (x - 1)}{3 {(x + 1)}^{2}} {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{\frac{2}{3}})$

Этап 11.3

Применим правило умножения к $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$\frac{1}{\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}} (\frac{x + 1 - (x - 1)}{3 {(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Этап 11.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}} (\frac{x + 1 - x - - 1}{3 {(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Этап 11.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$1 \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{x + 1 - x - - 1}{3 {(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Этап 11.5.2

Умножим $\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ на $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{x + 1 - x - - 1}{3 {(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Этап 11.5.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{x + 1 - x + 1}{3 {(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Этап 11.5.4

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{0 + 1 + 1}{3 {(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Этап 11.5.5

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1 + 1}{3 {(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Этап 11.5.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{2}{3 {(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Этап 11.5.7

Умножим $\frac{2}{3 {(x + 1)}^{2}}$ на $\frac{{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 11.5.8

Перенесем ${(x + 1)}^{\frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{2}{3 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x + 1)}^{- \frac{2}{3}}}$

Этап 11.5.9

Умножим ${(x + 1)}^{2}$ на ${(x + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.9.1

Перенесем ${(x + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{2}{3 ({(x + 1)}^{- \frac{2}{3}} {(x + 1)}^{2}) {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 11.5.9.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{2}{3 {(x + 1)}^{- \frac{2}{3} + 2} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 11.5.9.3

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{2}{3 {(x + 1)}^{- \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 11.5.9.4

Объединим $2$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{2}{3 {(x + 1)}^{- \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 11.5.9.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{- 2 + 2 \cdot 3}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 11.5.9.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.9.6.1

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{- 2 + 6}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 11.5.9.6.2

Добавим $- 2$ и $6$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 11.5.10

Умножим $\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ на $\frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 2}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}$

Этап 11.5.11

Умножим ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ на ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.11.1

Перенесем ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 2}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}$

Этап 11.5.11.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 2}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}$

Этап 11.5.11.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 2}{{(x - 1)}^{\frac{2 + 1}{3}} (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}$

Этап 11.5.11.4

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 2}{{(x - 1)}^{\frac{3}{3}} (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}$

Этап 11.5.11.5

Разделим $3$ на $3$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 2}{{(x - 1)}^{1} (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}$

Этап 11.5.12

Упростим ${(x - 1)}^{1} (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 2}{(x - 1) (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}$

Этап 11.5.13

Перенесем $2$ влево от ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 \cdot {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{(x - 1) (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}$

Этап 11.5.14

Перенесем $3$ влево от $x - 1$ .

$\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{3 \cdot (x - 1) {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 11.5.15

Перенесем ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{2}{3 (x - 1) {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} {(x + 1)}^{- \frac{1}{3}}}$

Этап 11.5.16

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.16.1

Умножим ${(x + 1)}^{\frac{4}{3}}$ на ${(x + 1)}^{- \frac{1}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.16.1.1

Перенесем ${(x + 1)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{3 (x - 1) ({(x + 1)}^{- \frac{1}{3}} {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}$

Этап 11.5.16.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2}{3 (x - 1) {(x + 1)}^{- \frac{1}{3} + \frac{4}{3}}}$

Этап 11.5.16.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2}{3 (x - 1) {(x + 1)}^{\frac{- 1 + 4}{3}}}$

Этап 11.5.16.1.4

Добавим $- 1$ и $4$ .

$\frac{2}{3 (x - 1) {(x + 1)}^{\frac{3}{3}}}$

Этап 11.5.16.1.5

Разделим $3$ на $3$ .

$\frac{2}{3 (x - 1) {(x + 1)}^{1}}$

Этап 11.5.16.2

Упростим $3 (x - 1) {(x + 1)}^{1}$ .

$\frac{2}{3 (x - 1) (x + 1)}$

Этап 11.6

Изменим порядок членов.

$\frac{2}{3 (x + 1) (x - 1)}$