Математический анализ Примеры

$y = \ln (\frac{x}{x + 1})$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \frac{x}{x + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{x}{x + 1}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x}{x + 1}$ .

$\frac{1}{\frac{x}{x + 1}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

Этап 2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{x}{x + 1}$ .

$1 \frac{x + 1}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

Этап 3

Умножим $\frac{x + 1}{x}$ на $1$ .

$\frac{x + 1}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x + 1$ .

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{(x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 5.2

Умножим $x + 1$ на $1$ .

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{x + 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 5.3

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 5.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{x + 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 5.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{x + 1 - x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 5.6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{x + 1 - x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 5.6.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{x + 1 - x}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 5.6.3

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{0 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 5.6.4

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 5.6.5

Умножим $\frac{x + 1}{x}$ на $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{x + 1}{x {(x + 1)}^{2}}$

Этап 5.6.6

Сократим общий множитель $x + 1$ и ${(x + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.6.1

Умножим на $1$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 1}{x {(x + 1)}^{2}}$

Этап 5.6.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.6.2.1

Вынесем множитель $x + 1$ из $x {(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 1}{(x + 1) (x (x + 1))}$

Этап 5.6.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 1) \cdot 1}{(x + 1) (x (x + 1))}$

Этап 5.6.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x (x + 1)}$