Математический анализ Примеры

$y = \ln (\sec (5 x) + \tan (5 x))$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \sec (5 x) + \tan (5 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\sec (5 x) + \tan (5 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sec (5 x) + \tan (5 x)]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sec (5 x) + \tan (5 x)]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\sec (5 x) + \tan (5 x)$ .

$\frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} \frac{d}{d x} [\sec (5 x) + \tan (5 x)]$

Этап 2

По правилу суммы производная $\sec (5 x) + \tan (5 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sec (5 x)] + \frac{d}{d x} [\tan (5 x)]$ .

$\frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} (\frac{d}{d x} [\sec (5 x)] + \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

Этап 3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $5 x$ .

$\frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

Этап 3.2

Производная $\sec (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $5 x$ .

$\frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} (\sec (5 x) \tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} (\sec (5 x) \tan (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} (\sec (5 x) \tan (5 x) (5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

Этап 4.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $5$ на $1$ .

$\frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} (\sec (5 x) \tan (5 x) \cdot 5 + \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

Этап 4.3.2

Перенесем $5$ влево от $\sec (5 x) \tan (5 x)$ .

$\frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} (5 \cdot (\sec (5 x) \tan (5 x)) + \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

Этап 5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $5 x$ .

$\frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} (5 \sec (5 x) \tan (5 x) + \frac{d}{d u_{3}} [\tan (u_{3})] \frac{d}{d x} [5 x])$

Этап 5.2

Производная $\tan (u_{3})$ по $u_{3}$ равна $\sec^{2} (u_{3})$ .

$\frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} (5 \sec (5 x) \tan (5 x) + \sec^{2} (u_{3}) \frac{d}{d x} [5 x])$

Этап 5.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $5 x$ .

$\frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} (5 \sec (5 x) \tan (5 x) + \sec^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

Этап 6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} (5 \sec (5 x) \tan (5 x) + \sec^{2} (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} (5 \sec (5 x) \tan (5 x) + \sec^{2} (5 x) (5 \cdot 1))$

Этап 6.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $5$ на $1$ .

$\frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} (5 \sec (5 x) \tan (5 x) + \sec^{2} (5 x) \cdot 5)$

Этап 6.3.2

Перенесем $5$ влево от $\sec^{2} (5 x)$ .

$\frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} (5 \sec (5 x) \tan (5 x) + 5 \cdot \sec^{2} (5 x))$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} (5 \sec (5 x) \tan (5 x) + 5 \sec^{2} (5 x))$ .

$(5 \sec (5 x) \tan (5 x) + 5 \sec^{2} (5 x)) \frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)}$

Этап 7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 \sec (5 x) \tan (5 x) \frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} + 5 \sec^{2} (5 x) \frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)}$

Этап 7.3

Умножим $5 \sec (5 x) \tan (5 x) \frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Объединим $\frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)}$ и $5$ .

$\frac{5}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} \sec (5 x) \tan (5 x) + 5 \sec^{2} (5 x) \frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)}$

Этап 7.3.2

Объединим $\frac{5}{\sec (5 x) + \tan (5 x)}$ и $\sec (5 x)$ .

$\frac{5 \sec (5 x)}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} \tan (5 x) + 5 \sec^{2} (5 x) \frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)}$

Этап 7.3.3

Объединим $\frac{5 \sec (5 x)}{\sec (5 x) + \tan (5 x)}$ и $\tan (5 x)$ .

$\frac{5 \sec (5 x) \tan (5 x)}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} + 5 \sec^{2} (5 x) \frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)}$

Этап 7.4

Умножим $5 \sec^{2} (5 x) \frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Объединим $\frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)}$ и $5$ .

$\frac{5 \sec (5 x) \tan (5 x)}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} + \frac{5}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} \sec^{2} (5 x)$

Этап 7.4.2

Объединим $\frac{5}{\sec (5 x) + \tan (5 x)}$ и $\sec^{2} (5 x)$ .

$\frac{5 \sec (5 x) \tan (5 x)}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} + \frac{5 \sec^{2} (5 x)}{\sec (5 x) + \tan (5 x)}$

Этап 7.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5 \sec (5 x) \tan (5 x) + 5 \sec^{2} (5 x)}{\sec (5 x) + \tan (5 x)}$

Этап 7.6

Вынесем множитель $5 \sec (5 x)$ из $5 \sec (5 x) \tan (5 x) + 5 \sec^{2} (5 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Вынесем множитель $5 \sec (5 x)$ из $5 \sec (5 x) \tan (5 x)$ .

$\frac{5 \sec (5 x) (\tan (5 x)) + 5 \sec^{2} (5 x)}{\sec (5 x) + \tan (5 x)}$

Этап 7.6.2

Вынесем множитель $5 \sec (5 x)$ из $5 \sec^{2} (5 x)$ .

$\frac{5 \sec (5 x) (\tan (5 x)) + 5 \sec (5 x) (\sec (5 x))}{\sec (5 x) + \tan (5 x)}$

Этап 7.6.3

Вынесем множитель $5 \sec (5 x)$ из $5 \sec (5 x) (\tan (5 x)) + 5 \sec (5 x) (\sec (5 x))$ .

$\frac{5 \sec (5 x) (\tan (5 x) + \sec (5 x))}{\sec (5 x) + \tan (5 x)}$