Математический анализ Примеры

$y = \ln (\tan (3 x))$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \tan (3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\tan (3 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\tan (3 x)$ .

$\frac{1}{\tan (3 x)} \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]$

Этап 2

Выразим $\tan (3 x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}} \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]$

Этап 3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ .

$\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)} \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]$

Этап 4

Переведем $\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$ в $\cot (3 x)$ .

$\cot (3 x) \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]$

Этап 5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $3 x$ .

$\cot (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 5.2

Производная $\tan (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\sec^{2} (u_{2})$ .

$\cot (3 x) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 5.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $3 x$ .

$\cot (3 x) (\sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cot (3 x) \sec^{2} (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\cot (3 x) \sec^{2} (3 x) (3 \cdot 1)$

Этап 6.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $3$ на $1$ .

$\cot (3 x) \sec^{2} (3 x) \cdot 3$

Этап 6.3.2

Перенесем $3$ влево от $\cot (3 x) \sec^{2} (3 x)$ .

$3 \cdot (\cot (3 x) \sec^{2} (3 x))$

Этап 6.3.3

Изменим порядок множителей в $3 \cot (3 x) \sec^{2} (3 x)$ .

$3 \sec^{2} (3 x) \cot (3 x)$