Математический анализ Примеры

$y = \log (\sin (x))$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \log (x)$ и $g (x) = \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\log (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 1.2

Производная $\log (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u \ln (10)}$ .

$\frac{1}{u \ln (10)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x) \ln (10)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x) \ln (10)} \cos (x)$

Этап 3

Объединим $\frac{1}{\sin (x) \ln (10)}$ и $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) \ln (10)}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим дроби.

$\frac{1}{\ln (10)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 4.2

Переведем $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ в $\cot (x)$ .

$\frac{1}{\ln (10)} \cot (x)$

Этап 4.3

Объединим $\frac{1}{\ln (10)}$ и $\cot (x)$ .

$\frac{\cot (x)}{\ln (10)}$