Математический анализ Примеры

$y = 8 x^{2} {(1 - 3 x)}^{5}$

Этап 1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x^{2} {(1 - 3 x)}^{5}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x^{2} {(1 - 3 x)}^{5}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{2} {(1 - 3 x)}^{5}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = {(1 - 3 x)}^{5}$ .

$8 (x^{2} \frac{d}{d x} [{(1 - 3 x)}^{5}] + {(1 - 3 x)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{5}$ и $g (x) = 1 - 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 - 3 x$ .

$8 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [1 - 3 x]) + {(1 - 3 x)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$8 (x^{2} (5 u^{4} \frac{d}{d x} [1 - 3 x]) + {(1 - 3 x)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 - 3 x$ .

$8 (x^{2} (5 {(1 - 3 x)}^{4} \frac{d}{d x} [1 - 3 x]) + {(1 - 3 x)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $1 - 3 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$8 (x^{2} (5 {(1 - 3 x)}^{4} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 x])) + {(1 - 3 x)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$8 (x^{2} (5 {(1 - 3 x)}^{4} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x])) + {(1 - 3 x)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$8 (x^{2} (5 {(1 - 3 x)}^{4} \frac{d}{d x} [- 3 x]) + {(1 - 3 x)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.4

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 (x^{2} (5 {(1 - 3 x)}^{4} (- 3 \frac{d}{d x} [x])) + {(1 - 3 x)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.5

Умножим $- 3$ на $5$ .

$8 (x^{2} (- 15 {(1 - 3 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x]) + {(1 - 3 x)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$8 (x^{2} (- 15 {(1 - 3 x)}^{4} \cdot 1) + {(1 - 3 x)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.7

Умножим $- 15$ на $1$ .

$8 (x^{2} (- 15 {(1 - 3 x)}^{4}) + {(1 - 3 x)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$8 (x^{2} (- 15 {(1 - 3 x)}^{4}) + {(1 - 3 x)}^{5} (2 x))$

Этап 4.9

Перенесем $2$ влево от ${(1 - 3 x)}^{5}$ .

$8 (x^{2} (- 15 {(1 - 3 x)}^{4}) + 2 \cdot {(1 - 3 x)}^{5} x)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$8 (x^{2} (- 15 {(1 - 3 x)}^{4})) + 8 (2 {(1 - 3 x)}^{5} x)$

Этап 5.2

Умножим $- 15$ на $8$ .

$- 120 (x^{2} ({(1 - 3 x)}^{4})) + 8 (2 {(1 - 3 x)}^{5} x)$

Этап 5.3

Умножим $2$ на $8$ .

$- 120 x^{2} {(1 - 3 x)}^{4} + 16 ({(1 - 3 x)}^{5} x)$

Этап 5.4

Вынесем множитель $8 x {(1 - 3 x)}^{4}$ из $- 120 x^{2} {(1 - 3 x)}^{4} + 16 {(1 - 3 x)}^{5} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $8 x {(1 - 3 x)}^{4}$ из $- 120 x^{2} {(1 - 3 x)}^{4}$ .

$8 x {(1 - 3 x)}^{4} (- 15 x) + 16 {(1 - 3 x)}^{5} x$

Этап 5.4.2

Вынесем множитель $8 x {(1 - 3 x)}^{4}$ из $16 {(1 - 3 x)}^{5} x$ .

$8 x {(1 - 3 x)}^{4} (- 15 x) + 8 x {(1 - 3 x)}^{4} (2 (1 - 3 x))$

Этап 5.4.3

Вынесем множитель $8 x {(1 - 3 x)}^{4}$ из $8 x {(1 - 3 x)}^{4} (- 15 x) + 8 x {(1 - 3 x)}^{4} (2 (1 - 3 x))$ .

$8 x {(1 - 3 x)}^{4} (- 15 x + 2 (1 - 3 x))$