Математический анализ Примеры

$y = \arcsin (\cos (x))$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \arcsin (x)$ и $g (x) = \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.2

Производная $\arcsin (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (x)$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \cos^{2} (x)}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \cos^{2} (x)}} (- \sin (x))$

Этап 3

Объединим $\frac{1}{\sqrt{1 - \cos^{2} (x)}}$ и $\sin (x)$ .

$- \frac{\sin (x)}{\sqrt{1 - \cos^{2} (x)}}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим формулу Пифагора.

$- \frac{\sin (x)}{\sqrt{\sin^{2} (x)}}$

Этап 4.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$- \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Этап 4.3.2

Перепишем это выражение.

$- 1 \cdot 1$

Этап 4.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$