Математический анализ Примеры

$y = 4 \arcsin (\frac{x}{2}) - x \sqrt{4 - x^{2}}$

Этап 1

По правилу суммы производная $4 \arcsin (\frac{x}{2}) - x \sqrt{4 - x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 \arcsin (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [- x \sqrt{4 - x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \arcsin (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [- x \sqrt{4 - x^{2}}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 \arcsin (\frac{x}{2})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 \arcsin (\frac{x}{2})$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\arcsin (\frac{x}{2})]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\arcsin (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [- x \sqrt{4 - x^{2}}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \arcsin (x)$ и $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\frac{x}{2}$ .

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [- x \sqrt{4 - x^{2}}]$

Этап 2.2.2

Производная $\arcsin (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$4 (\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [- x \sqrt{4 - x^{2}}]$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\frac{x}{2}$ .

$4 (\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [- x \sqrt{4 - x^{2}}]$

Этап 2.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{2}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- x \sqrt{4 - x^{2}}]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 (\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- x \sqrt{4 - x^{2}}]$

Этап 2.5

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$4 (\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} \cdot \frac{1}{2}) + \frac{d}{d x} [- x \sqrt{4 - x^{2}}]$

Этап 2.6

Умножим $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$4 \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}} \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- x \sqrt{4 - x^{2}}]$

Этап 2.7

Перенесем $2$ влево от $\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}$ .

$4 \frac{1}{2 \cdot \sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} + \frac{d}{d x} [- x \sqrt{4 - x^{2}}]$

Этап 2.8

Объединим $4$ и $\frac{1}{2 \sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}$ .

$\frac{4}{2 \sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} + \frac{d}{d x} [- x \sqrt{4 - x^{2}}]$

Этап 2.9

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 \sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} + \frac{d}{d x} [- x \sqrt{4 - x^{2}}]$

Этап 2.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}})} + \frac{d}{d x} [- x \sqrt{4 - x^{2}}]$

Этап 2.9.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} + \frac{d}{d x} [- x \sqrt{4 - x^{2}}]$

Этап 2.9.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} + \frac{d}{d x} [- x \sqrt{4 - x^{2}}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x \sqrt{4 - x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{4 - x^{2}}$ в виде ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} + \frac{d}{d x} [- x {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - \frac{d}{d x} [x {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - (x \frac{d}{d x} [{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $4 - x^{2}$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - (x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - (x (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $4 - x^{2}$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - (x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.5

По правилу суммы производная $4 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - (x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.6

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - (x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.7

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - (x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x^{2}])) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - (x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x))) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - (x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x))) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Этап 3.10

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - (x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - (2 x))) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Этап 3.11

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - (x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x))) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Этап 3.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - (x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x))) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Этап 3.13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - (x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - (2 x))) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Этап 3.13.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - (x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 - (2 x))) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Этап 3.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - (x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - (2 x))) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Этап 3.15

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - (x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - 2 x)) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Этап 3.16

Вычтем $2 x$ из $0$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - (x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (- 2 x)) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Этап 3.17

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - (x (\frac{{(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (- 2 x)) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Этап 3.18

Объединим $- 2$ и $\frac{{(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - (x (\frac{- 2 {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} x) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Этап 3.19

Объединим $\frac{- 2 {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $x$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - (x \frac{- 2 {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} x}{2} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Этап 3.20

Перенесем ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - (x \frac{- 2 x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Этап 3.21

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - (x \frac{2 (- x)}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Этап 3.22

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.22.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - (x \frac{2 (- x)}{2 ({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Этап 3.22.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - (x \frac{2 (- x)}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Этап 3.22.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - (x \frac{- x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Этап 3.23

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - (x (- \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Этап 3.24

Объединим $x$ и $\frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - (- \frac{x \cdot x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Этап 3.25

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - (- \frac{x^{1} x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Этап 3.26

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - (- \frac{x^{1} x^{1}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Этап 3.27

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - (- \frac{x^{1 + 1}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Этап 3.28

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - (- \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Этап 3.29

Умножим ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - (- \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 3.30

Чтобы записать ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - (- \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 3.31

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - \frac{- x^{2} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.32

Умножим ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ на ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.32.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - \frac{- x^{2} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.32.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - \frac{- x^{2} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.32.3

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - \frac{- x^{2} + {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.32.4

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - \frac{- x^{2} + {(4 - x^{2})}^{1}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.33

Упростим ${(4 - x^{2})}^{1}$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - \frac{- x^{2} + 4 - x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.34

Вычтем $x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} - \frac{- 2 x^{2} + 4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим правило умножения к $\frac{x}{2}$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{2^{2}}}} - \frac{- 2 x^{2} + 4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}} - \frac{- 2 x^{2} + 4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.2.2

Чтобы записать $\frac{2}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}} \cdot \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 2 x^{2} + 4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.2.3

Чтобы записать $- \frac{- 2 x^{2} + 4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}} \cdot \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 2 x^{2} + 4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}}$

Этап 4.2.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}}$ на $\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 2 x^{2} + 4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}}$

Этап 4.2.4.2

Умножим $\frac{- 2 x^{2} + 4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}}$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{(- 2 x^{2} + 4) \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}}$

Этап 4.2.4.3

Изменим порядок множителей в $\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}} - \frac{(- 2 x^{2} + 4) \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}}$

Этап 4.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (- 2 x^{2} + 4) \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}}$

Этап 4.3

Изменим порядок членов.

$\frac{- \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}} (- 2 x^{2} + 4) + 2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}}$