Математический анализ Примеры

$\sqrt{\frac{z - 5}{z + 5}}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{\frac{z - 5}{z + 5}}$ в виде ${(\frac{z - 5}{z + 5})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d z} [{(\frac{z - 5}{z + 5})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ имеет вид $f' (g (z)) g' (z)$ , где $f (z) = z^{\frac{1}{2}}$ и $g (z) = \frac{z - 5}{z + 5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{z - 5}{z + 5}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d z} [\frac{z - 5}{z + 5}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d z} [\frac{z - 5}{z + 5}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{z - 5}{z + 5}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d z} [\frac{z - 5}{z + 5}]$

Этап 3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d z} [\frac{z - 5}{z + 5}]$

Этап 4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d z} [\frac{z - 5}{z + 5}]$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d z} [\frac{z - 5}{z + 5}]$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d z} [\frac{z - 5}{z + 5}]$

Этап 6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d z} [\frac{z - 5}{z + 5}]$

Этап 7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d z} [\frac{z - 5}{z + 5}]$

Этап 8

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [\frac{f (z)}{g (z)}]$ имеет вид $\frac{g (z) \frac{d}{d z} [f (z)] - f (z) \frac{d}{d z} [g (z)]}{{g (z)}^{2}}$ , где $f (z) = z - 5$ и $g (z) = z + 5$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(z + 5) \frac{d}{d z} [z - 5] - (z - 5) \frac{d}{d z} [z + 5]}{{(z + 5)}^{2}}$

Этап 9

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

По правилу суммы производная $z - 5$ по $z$ имеет вид $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 5]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(z + 5) (\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 5]) - (z - 5) \frac{d}{d z} [z + 5]}{{(z + 5)}^{2}}$

Этап 9.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ имеет вид $n z^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(z + 5) (1 + \frac{d}{d z} [- 5]) - (z - 5) \frac{d}{d z} [z + 5]}{{(z + 5)}^{2}}$

Этап 9.3

Поскольку $- 5$ является константой относительно $z$ , производная $- 5$ относительно $z$ равна $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(z + 5) (1 + 0) - (z - 5) \frac{d}{d z} [z + 5]}{{(z + 5)}^{2}}$

Этап 9.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(z + 5) \cdot 1 - (z - 5) \frac{d}{d z} [z + 5]}{{(z + 5)}^{2}}$

Этап 9.4.2

Умножим $z + 5$ на $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{- \frac{1}{2}} \frac{z + 5 - (z - 5) \frac{d}{d z} [z + 5]}{{(z + 5)}^{2}}$

Этап 9.5

По правилу суммы производная $z + 5$ по $z$ имеет вид $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [5]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{- \frac{1}{2}} \frac{z + 5 - (z - 5) (\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [5])}{{(z + 5)}^{2}}$

Этап 9.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ имеет вид $n z^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{- \frac{1}{2}} \frac{z + 5 - (z - 5) (1 + \frac{d}{d z} [5])}{{(z + 5)}^{2}}$

Этап 9.7

Поскольку $5$ является константой относительно $z$ , производная $5$ относительно $z$ равна $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{- \frac{1}{2}} \frac{z + 5 - (z - 5) (1 + 0)}{{(z + 5)}^{2}}$

Этап 9.8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.8.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{- \frac{1}{2}} \frac{z + 5 - (z - 5) \cdot 1}{{(z + 5)}^{2}}$

Этап 9.8.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{- \frac{1}{2}} \frac{z + 5 - (z - 5)}{{(z + 5)}^{2}}$

Этап 9.8.3

Умножим $\frac{z + 5 - (z - 5)}{{(z + 5)}^{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{z + 5 - (z - 5)}{{(z + 5)}^{2} \cdot 2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{- \frac{1}{2}}$

Этап 9.8.4

Перенесем $2$ влево от ${(z + 5)}^{2}$ .

$\frac{z + 5 - (z - 5)}{2 \cdot {(z + 5)}^{2}} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{- \frac{1}{2}}$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Изменим знак экспоненты, переписав основание в виде обратной величины.

$\frac{z + 5 - (z - 5)}{2 {(z + 5)}^{2}} {(\frac{z + 5}{z - 5})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 10.2

Применим правило умножения к $\frac{z + 5}{z - 5}$ .

$\frac{z + 5 - (z - 5)}{2 {(z + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{z + 5 - z - - 5}{2 {(z + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$\frac{z + 5 - z + 5}{2 {(z + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.4.2

Вычтем $z$ из $z$ .

$\frac{0 + 5 + 5}{2 {(z + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.4.3

Добавим $0$ и $5$ .

$\frac{5 + 5}{2 {(z + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.4.4

Добавим $5$ и $5$ .

$\frac{10}{2 {(z + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.4.5

Сократим общий множитель $10$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.5.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 {(z + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.4.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(z + 5)}^{2}$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 ({(z + 5)}^{2})} \cdot \frac{{(z + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.4.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 5}{2 {(z + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.4.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5}{{(z + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.4.6

Умножим $\frac{5}{{(z + 5)}^{2}}$ на $\frac{{(z + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{5 {(z + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(z + 5)}^{2} {(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.4.7

Перенесем ${(z + 5)}^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{5}{{(z + 5)}^{2} {(z - 5)}^{\frac{1}{2}} {(z + 5)}^{- \frac{1}{2}}}$

Этап 10.4.8

Умножим ${(z + 5)}^{2}$ на ${(z + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.8.1

Перенесем ${(z + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{5}{{(z + 5)}^{- \frac{1}{2}} {(z + 5)}^{2} {(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.4.8.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{5}{{(z + 5)}^{- \frac{1}{2} + 2} {(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.4.8.3

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{{(z + 5)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} {(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.4.8.4

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{{(z + 5)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} {(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.4.8.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5}{{(z + 5)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} {(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.4.8.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.8.6.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{5}{{(z + 5)}^{\frac{- 1 + 4}{2}} {(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.4.8.6.2

Добавим $- 1$ и $4$ .

$\frac{5}{{(z + 5)}^{\frac{3}{2}} {(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$