Математический анализ Примеры

$x^{\frac{y}{z}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя обобщенное правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f^{g}]$ имеет вид $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ , где $f = x$ и $g = \frac{y}{z}$ .

$\frac{d}{d y} [x] (\frac{y}{z} x^{\frac{y}{z} - 1}) + \frac{d}{d y} [\frac{y}{z}] (x^{\frac{y}{z}} \ln (x))$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\frac{y}{z}$ и $x^{\frac{y}{z} - 1}$ .

$\frac{d}{d y} [x] \frac{y x^{\frac{y}{z} - 1}}{z} + \frac{d}{d y} [\frac{y}{z}] (x^{\frac{y}{z}} \ln (x))$

Этап 2.2

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $x$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 \frac{y x^{\frac{y}{z} - 1}}{z} + \frac{d}{d y} [\frac{y}{z}] (x^{\frac{y}{z}} \ln (x))$

Этап 2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $0$ на $\frac{y x^{\frac{y}{z} - 1}}{z}$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{y}{z}] (x^{\frac{y}{z}} \ln (x))$

Этап 2.3.2

Добавим $0$ и $\frac{d}{d y} [\frac{y}{z}] (x^{\frac{y}{z}} \ln (x))$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y}{z}] (x^{\frac{y}{z}} \ln (x))$

Этап 2.4

Поскольку $\frac{1}{z}$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{y}{z}$ по $y$ равна $\frac{1}{z} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{1}{z} \frac{d}{d y} [y] (x^{\frac{y}{z}} \ln (x))$

Этап 2.5

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Объединим $x^{\frac{y}{z}}$ и $\frac{1}{z}$ .

$\frac{x^{\frac{y}{z}}}{z} \frac{d}{d y} [y] \ln (x)$

Этап 2.5.2

Объединим $\ln (x)$ и $\frac{x^{\frac{y}{z}}}{z}$ .

$\frac{\ln (x) x^{\frac{y}{z}}}{z} \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\ln (x) x^{\frac{y}{z}}}{z} \cdot 1$

Этап 2.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Умножим $\frac{\ln (x) x^{\frac{y}{z}}}{z}$ на $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{\frac{y}{z}}}{z}$

Этап 2.7.2

Изменим порядок множителей в $\ln (x) x^{\frac{y}{z}}$ .

$\frac{x^{\frac{y}{z}} \ln (x)}{z}$