Математический анализ Примеры

$e^{x y^{2}} + \ln (y + z)$

Этап 1

По правилу суммы производная $e^{x y^{2}} + \ln (y + z)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [e^{x y^{2}}] + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{x y^{2}}] + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d y} [e^{x y^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = e^{y}$ и $g (y) = x y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x y^{2}$ .

$e^{x y^{2}} \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$

Этап 2.2

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $x y^{2}$ по $y$ равна $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$e^{x y^{2}} (x \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$e^{x y^{2}} (x (2 y)) + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$

Этап 2.4

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $y + z$ .

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d y} [y + z]$

Этап 3.1.2

Производная $\ln (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d y} [y + z]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $y + z$ .

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{1}{y + z} \frac{d}{d y} [y + z]$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $y + z$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [z]$ .

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{1}{y + z} (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [z])$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{1}{y + z} (1 + \frac{d}{d y} [z])$

Этап 3.4

Поскольку $z$ является константой относительно $y$ , производная $z$ относительно $y$ равна $0$ .

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{1}{y + z} (1 + 0)$

Этап 3.5

Добавим $1$ и $0$ .

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{1}{y + z} \cdot 1$

Этап 3.6

Умножим $\frac{1}{y + z}$ на $1$ .

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{1}{y + z}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Чтобы записать $e^{x y^{2}} (2 x y)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y + z}{y + z}$ .

$\frac{e^{x y^{2}} (2 x y) (y + z)}{y + z} + \frac{1}{y + z}$

Этап 4.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{e^{x y^{2}} (2 x y) (y + z) + 1}{y + z}$

Этап 4.2

Изменим порядок членов.

$\frac{2 e^{x y^{2}} x y (y + z) + 1}{y + z}$