Математический анализ Примеры

$y = x \arctan (2 x) - \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})$

Этап 1

По правилу суммы производная $x \arctan (2 x) - \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x \arctan (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$ .

$\frac{d}{d x} [x \arctan (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x \arctan (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \arctan (2 x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\arctan (2 x)] + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \arctan (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 x$ .

$x (\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

Этап 2.2.2

Производная $\arctan (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$x (\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$x (\frac{1}{1 + {(2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

Этап 2.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (\frac{1}{1 + {(2 x)}^{2}} (2 \frac{d}{d x} [x])) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (\frac{1}{1 + {(2 x)}^{2}} (2 \cdot 1)) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (\frac{1}{1 + {(2 x)}^{2}} (2 \cdot 1)) + \arctan (2 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

Этап 2.6

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$x (\frac{1}{1 + {(2 (x))}^{2}} (2 \cdot 1)) + \arctan (2 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

Этап 2.7

Применим правило умножения к $2 (x)$ .

$x (\frac{1}{1 + 2^{2} x^{2}} (2 \cdot 1)) + \arctan (2 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

Этап 2.8

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x (\frac{1}{1 + 4 x^{2}} (2 \cdot 1)) + \arctan (2 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

Этап 2.9

Умножим $2$ на $1$ .

$x (\frac{1}{1 + 4 x^{2}} \cdot 2) + \arctan (2 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

Этап 2.10

Объединим $\frac{1}{1 + 4 x^{2}}$ и $2$ .

$x \frac{2}{1 + 4 x^{2}} + \arctan (2 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

Этап 2.11

Объединим $x$ и $\frac{2}{1 + 4 x^{2}}$ .

$\frac{x \cdot 2}{1 + 4 x^{2}} + \arctan (2 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

Этап 2.12

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{2 \cdot x}{1 + 4 x^{2}} + \arctan (2 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

Этап 2.13

Умножим $\arctan (2 x)$ на $1$ .

$\frac{2 x}{1 + 4 x^{2}} + \arctan (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

Этап 2.14

Чтобы записать $\arctan (2 x)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 + 4 x^{2}}{1 + 4 x^{2}}$ .

$\frac{2 x}{1 + 4 x^{2}} + \frac{\arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

Этап 2.15

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- \frac{1}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})$ по $x$ равна $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\ln (1 + 4 x^{2})]$ .

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\ln (1 + 4 x^{2})]$

Этап 3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $1 + 4 x^{2}$ .

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{4} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}])$

Этап 3.2.2

Производная $\ln (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{4} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $1 + 4 x^{2}$ .

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{4} (\frac{1}{1 + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}])$

Этап 3.3

По правилу суммы производная $1 + 4 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{4} (\frac{1}{1 + 4 x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]))$

Этап 3.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{4} (\frac{1}{1 + 4 x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]))$

Этап 3.5

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{4} (\frac{1}{1 + 4 x^{2}} (0 + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{4} (\frac{1}{1 + 4 x^{2}} (0 + 4 (2 x)))$

Этап 3.7

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{4} (\frac{1}{1 + 4 x^{2}} (0 + 8 x))$

Этап 3.8

Добавим $0$ и $8 x$ .

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{4} (\frac{1}{1 + 4 x^{2}} (8 x))$

Этап 3.9

Объединим $8$ и $\frac{1}{1 + 4 x^{2}}$ .

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{4} (\frac{8}{1 + 4 x^{2}} x)$

Этап 3.10

Объединим $\frac{8}{1 + 4 x^{2}}$ и $x$ .

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{4} \cdot \frac{8 x}{1 + 4 x^{2}}$

Этап 3.11

Умножим $\frac{8 x}{1 + 4 x^{2}}$ на $\frac{1}{4}$ .

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{8 x}{(1 + 4 x^{2}) \cdot 4}$

Этап 3.12

Перенесем $4$ влево от $1 + 4 x^{2}$ .

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{8 x}{4 \cdot (1 + 4 x^{2})}$

Этап 3.13

Сократим общий множитель $8$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.1

Вынесем множитель $4$ из $8 x$ .

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{4 (2 x)}{4 (1 + 4 x^{2})}$

Этап 3.13.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{4 (2 x)}{4 (1 + 4 x^{2})}$

Этап 3.13.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{2 x}{1 + 4 x^{2}}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x + \arctan (2 x) \cdot 1 + \arctan (2 x) (4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{2 x}{1 + 4 x^{2}}$

Этап 4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $\arctan (2 x)$ на $1$ .

$\frac{2 x + \arctan (2 x) + \arctan (2 x) (4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{2 x}{1 + 4 x^{2}}$

Этап 4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 x + \arctan (2 x) + \arctan (2 x) (4 x^{2}) - 2 x}{1 + 4 x^{2}}$

Этап 4.2.3

Вычтем $2 x$ из $2 x$ .

$\frac{\arctan (2 x) + \arctan (2 x) (4 x^{2}) + 0}{1 + 4 x^{2}}$

Этап 4.2.4

Добавим $\arctan (2 x) + \arctan (2 x) (4 x^{2})$ и $0$ .

$\frac{\arctan (2 x) + \arctan (2 x) (4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}}$

Этап 4.3

Изменим порядок членов.

$\frac{4 x^{2} \arctan (2 x) + \arctan (2 x)}{4 x^{2} + 1}$

Этап 4.4

Вынесем множитель $\arctan (2 x)$ из $4 x^{2} \arctan (2 x) + \arctan (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вынесем множитель $\arctan (2 x)$ из $4 x^{2} \arctan (2 x)$ .

$\frac{\arctan (2 x) (4 x^{2}) + \arctan (2 x)}{4 x^{2} + 1}$

Этап 4.4.2

Умножим на $1$ .

$\frac{\arctan (2 x) (4 x^{2}) + \arctan (2 x) \cdot 1}{4 x^{2} + 1}$

Этап 4.4.3

Вынесем множитель $\arctan (2 x)$ из $\arctan (2 x) (4 x^{2}) + \arctan (2 x) \cdot 1$ .

$\frac{\arctan (2 x) (4 x^{2} + 1)}{4 x^{2} + 1}$

Этап 4.5

Сократим общий множитель $4 x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\arctan (2 x) (4 x^{2} + 1)}{4 x^{2} + 1}$

Этап 4.5.2

Разделим $\arctan (2 x)$ на $1$ .

$\arctan (2 x)$