Математический анализ Примеры

$y = x - 4 \ln (3 x - 9)$

Этап 1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $x - 4 \ln (3 x - 9)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 \ln (3 x - 9)$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$ .

$1 - 4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 3 x - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x - 9$ .

$1 - 4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Этап 2.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$1 - 4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x - 9$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Этап 2.3

По правилу суммы производная $3 x - 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Этап 2.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Этап 2.6

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + 0))$

Этап 2.7

Умножим $3$ на $1$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 + 0))$

Этап 2.8

Добавим $3$ и $0$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} \cdot 3)$

Этап 2.9

Объединим $\frac{1}{3 x - 9}$ и $3$ .

$1 - 4 \frac{3}{3 x - 9}$

Этап 2.10

Сократим общий множитель $3$ и $3 x - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 x - 9}$

Этап 2.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) - 9}$

Этап 2.10.2.2

Вынесем множитель $3$ из $- 9$ .

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) + 3 (- 3)}$

Этап 2.10.2.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (x) + 3 (- 3)$ .

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

Этап 2.10.2.4

Сократим общий множитель.

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

Этап 2.10.2.5

Перепишем это выражение.

$1 - 4 \frac{1}{x - 3}$

Этап 2.11

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{x - 3}$ .

$1 + \frac{- 4}{x - 3}$

Этап 2.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$1 - \frac{4}{x - 3}$

Этап 3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{x - 3}{x - 3} - \frac{4}{x - 3}$

Этап 3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x - 3 - 4}{x - 3}$

Этап 3.3

Вычтем $4$ из $- 3$ .

$\frac{x - 7}{x - 3}$