Математический анализ Примеры

$y = x \ln^{2} (x)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \ln^{2} (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)] + \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\ln (x)$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\ln (x)$ .

$x (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$x (2 \ln (x) \frac{1}{x}) + \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $\frac{1}{x}$ и $2$ .

$x (\frac{2}{x} \ln (x)) + \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Объединим $\frac{2}{x}$ и $\ln (x)$ .

$x \frac{2 \ln (x)}{x} + \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.2.2

Объединим $x$ и $\frac{2 \ln (x)}{x}$ .

$\frac{x (2 \ln (x))}{x} + \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.2.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (2 \ln (x))}{x} + \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.2.3.2

Разделим $2 \ln (x)$ на $1$ .

$2 \ln (x) + \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \ln (x) + \ln^{2} (x) \cdot 1$

Этап 4.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Умножим $\ln^{2} (x)$ на $1$ .

$2 \ln (x) + \ln^{2} (x)$

Этап 4.4.2

Изменим порядок членов.

$\ln^{2} (x) + 2 \ln (x)$