Математический анализ Примеры

$\frac{5 + t + t^{2}}{\sqrt{t}}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{t}$ в виде $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{5 + t + t^{2}}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Этап 2

Вынесем $t^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int (5 + t + t^{2}) {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d t$

Этап 3

Перемножим экспоненты в ${(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (5 + t + t^{2}) t^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d t$

Этап 3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\int (5 + t + t^{2}) t^{\frac{- 1}{2}} d t$

Этап 3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int (5 + t + t^{2}) t^{- \frac{1}{2}} d t$

Этап 4

Развернем $(5 + t + t^{2}) t^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (5 + t) t^{- \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 5 t^{- \frac{1}{2}} + t \cdot t^{- \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Этап 4.3

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\int 5 t^{- \frac{1}{2}} + t^{1} t^{- \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Этап 4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 5 t^{- \frac{1}{2}} + t^{1 - \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Этап 4.5

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\int 5 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Этап 4.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int 5 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{2 - 1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Этап 4.7

Вычтем $1$ из $2$ .

$\int 5 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Этап 4.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 5 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{2 - \frac{1}{2}} d t$

Этап 4.9

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\int 5 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} d t$

Этап 4.10

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$\int 5 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} d t$

Этап 4.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int 5 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} d t$

Этап 4.12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\int 5 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{4 - 1}{2}} d t$

Этап 4.12.2

Вычтем $1$ из $4$ .

$\int 5 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{3}{2}} d t$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 5 t^{- \frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

Этап 6

Поскольку $5$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int t^{- \frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

Этап 7

По правилу степени интеграл $t^{- \frac{1}{2}}$ по $t$ имеет вид $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$5 (2 t^{\frac{1}{2}} + C) + \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

Этап 8

По правилу степени интеграл $t^{\frac{1}{2}}$ по $t$ имеет вид $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$5 (2 t^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

Этап 9

По правилу степени интеграл $t^{\frac{3}{2}}$ по $t$ имеет вид $\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}$ .

$5 (2 t^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим.

$10 t^{\frac{1}{2}} + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

Этап 10.2

Изменим порядок членов.

$10 t^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$