Математический анализ Примеры

$\frac{x^{2}}{x^{2} + 5}$

Этап 1

Разделим $x^{2}$ на $x^{2} + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$5$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Этап 1.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Этап 1.3

Умножим новое частное на делитель.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$5$

Этап 1.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{2} + 0 + 5$ .

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$5$

Этап 1.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$5$
									-	$5$

Этап 1.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int 1 - \frac{5}{x^{2} + 5} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int d x + \int - \frac{5}{x^{2} + 5} d x$

Этап 3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$x + C + \int - \frac{5}{x^{2} + 5} d x$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$x + C - \int \frac{5}{x^{2} + 5} d x$

Этап 5

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$x + C - (5 \int \frac{1}{x^{2} + 5} d x)$

Этап 6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $5$ на $- 1$ .

$x + C - 5 \int \frac{1}{x^{2} + 5} d x$

Этап 6.2

Изменим порядок $x^{2}$ и $5$ .

$x + C - 5 \int \frac{1}{5 + x^{2}} d x$

Этап 7

Перепишем $5$ в виде ${\sqrt{5}}^{2}$ .

$x + C - 5 \int \frac{1}{{\sqrt{5}}^{2} + x^{2}} d x$

Этап 8

Интеграл $\frac{1}{{\sqrt{5}}^{2} + x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{\sqrt{5}} \arctan (\frac{x}{\sqrt{5}}) + C$ .

$x + C - 5 (\frac{1}{\sqrt{5}} \arctan (\frac{x}{\sqrt{5}}) + C)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $\frac{1}{\sqrt{5}}$ и $\arctan (\frac{x}{\sqrt{5}})$ .

$x + C - 5 (\frac{\arctan (\frac{x}{\sqrt{5}})}{\sqrt{5}} + C)$

Этап 9.2

Упростим.

$x - 5 \frac{\arctan (\frac{x \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} + C$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Объединим $- 5$ и $\frac{\arctan (\frac{x \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}}$ .

$x + \frac{- 5 \arctan (\frac{x \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} + C$

Этап 9.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x - \frac{5 \arctan (\frac{x \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} + C$

Этап 10

Изменим порядок членов.

$x - \frac{5}{\sqrt{5}} \arctan (\frac{\sqrt{5}}{5} x) + C$