Математический анализ Примеры

$y = x^{3} - 3 x^{2} - 105 x$

Этап 1

Найдем точки пересечения с осью x.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы найти точки пересечения с осью x, подставим $0$ вместо $y$ и найдем решение для $x$ .

$0 = x^{3} - 3 x^{2} - 105 x$

Этап 1.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем уравнение в виде $x^{3} - 3 x^{2} - 105 x = 0$ .

$x^{3} - 3 x^{2} - 105 x = 0$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} - 3 x^{2} - 105 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 3 x^{2} - 105 x = 0$

Этап 1.2.2.2

Вынесем множитель $x$ из $- 3 x^{2}$ .

$x \cdot x^{2} + x (- 3 x) - 105 x = 0$

Этап 1.2.2.3

Вынесем множитель $x$ из $- 105 x$ .

$x \cdot x^{2} + x (- 3 x) + x \cdot - 105 = 0$

Этап 1.2.2.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x (- 3 x)$ .

$x (x^{2} - 3 x) + x \cdot - 105 = 0$

Этап 1.2.2.5

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{2} - 3 x) + x \cdot - 105$ .

$x (x^{2} - 3 x - 105) = 0$

Этап 1.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 3 x - 105 = 0$

Этап 1.2.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 1.2.5

Приравняем $x^{2} - 3 x - 105$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $x^{2} - 3 x - 105$ к $0$ .

$x^{2} - 3 x - 105 = 0$

Этап 1.2.5.2

Решим $x^{2} - 3 x - 105 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 1.2.5.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 3$ и $c = - 105$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 105)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.3.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 105}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 105$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 105}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 105$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 420}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.3.1.3

Добавим $9$ и $420$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{429}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{429}}{2}$

Этап 1.2.5.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.4.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 105}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 105$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 105}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 105$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 420}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.4.1.3

Добавим $9$ и $420$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{429}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{429}}{2}$

Этап 1.2.5.2.4.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{3 + \sqrt{429}}{2}$

Этап 1.2.5.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.5.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 105}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 105$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 105}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 105$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 420}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.5.1.3

Добавим $9$ и $420$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{429}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{429}}{2}$

Этап 1.2.5.2.5.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{3 - \sqrt{429}}{2}$

Этап 1.2.5.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{3 + \sqrt{429}}{2}, \frac{3 - \sqrt{429}}{2}$

Этап 1.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x^{2} - 3 x - 105) = 0$ верно.

$x = 0, \frac{3 + \sqrt{429}}{2}, \frac{3 - \sqrt{429}}{2}$

Этап 1.3

Точки пересечения с осью x в форме точки.

точки пересечения с осью x: $(0, 0), (\frac{3 + \sqrt{429}}{2}, 0), (\frac{3 - \sqrt{429}}{2}, 0)$

Этап 2

Найдем точку пересечения с осью Y.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы найти точки пересечения с осью y, подставим $0$ вместо $x$ и найдем решение для $y$ .

$y = {(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} - 105 \cdot 0$

Этап 2.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 0^{3} - 3 {(0)}^{2} - 105 \cdot 0$

Этап 2.2.2

Избавимся от скобок.

$y = 0^{3} - 3 \cdot 0^{2} - 105 \cdot 0$

Этап 2.2.3

Избавимся от скобок.

$y = {(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} - 105 \cdot 0$

Этап 2.2.4

Упростим ${(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} - 105 \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 - 3 {(0)}^{2} - 105 \cdot 0$

Этап 2.2.4.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 - 3 \cdot 0 - 105 \cdot 0$

Этап 2.2.4.1.3

Умножим $- 3$ на $0$ .

$y = 0 + 0 - 105 \cdot 0$

Этап 2.2.4.1.4

Умножим $- 105$ на $0$ .

$y = 0 + 0 + 0$

Этап 2.2.4.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0 + 0$

Этап 2.2.4.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0$

Этап 2.3

Точки пересечения с осью y в форме точки.

Точки пересечения с осью y: $(0, 0)$

Этап 3

Перечислим пересечения.

точки пересечения с осью x: $(0, 0), (\frac{3 + \sqrt{429}}{2}, 0), (\frac{3 - \sqrt{429}}{2}, 0)$

Точки пересечения с осью y: $(0, 0)$

Этап 4