Математический анализ Примеры

$y = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 2$

Этап 1

Найдем точки пересечения с осью x.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы найти точки пересечения с осью x, подставим $0$ вместо $y$ и найдем решение для $x$ .

$0 = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 2$

Этап 1.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем уравнение в виде $x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 2 = 0$ .

$x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 2 = 0$

Этап 1.2.2

Разложим $x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 2$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Этап 1.2.2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 2$

Этап 1.2.2.3

Подставим $- 2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Подставим $- 2$ в многочлен.

${(- 2)}^{3} + 3 {(- 2)}^{2} + 3 \cdot - 2 + 2$

Этап 1.2.2.3.2

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$- 8 + 3 {(- 2)}^{2} + 3 \cdot - 2 + 2$

Этап 1.2.2.3.3

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$- 8 + 3 \cdot 4 + 3 \cdot - 2 + 2$

Этап 1.2.2.3.4

Умножим $3$ на $4$ .

$- 8 + 12 + 3 \cdot - 2 + 2$

Этап 1.2.2.3.5

Добавим $- 8$ и $12$ .

$4 + 3 \cdot - 2 + 2$

Этап 1.2.2.3.6

Умножим $3$ на $- 2$ .

$4 - 6 + 2$

Этап 1.2.2.3.7

Вычтем $6$ из $4$ .

$- 2 + 2$

Этап 1.2.2.3.8

Добавим $- 2$ и $2$ .

$0$

Этап 1.2.2.4

Поскольку $- 2$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 2}{x + 2}$

Этап 1.2.2.5

Разделим $x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 2$ на $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$2$

Этап 1.2.2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$

Этап 1.2.2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Этап 1.2.2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} + 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Этап 1.2.2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$

Этап 1.2.2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$

Этап 1.2.2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$

Этап 1.2.2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$

Этап 1.2.2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{2} + 2 x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$

Этап 1.2.2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$

Этап 1.2.2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	+	$2$

Этап 1.2.2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	+	$2$

Этап 1.2.2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	+	$2$
							+	$x$	+	$2$

Этап 1.2.2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x + 2$ .

				$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	+	$2$
							-	$x$	-	$2$

Этап 1.2.2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	+	$2$
							-	$x$	-	$2$
										$0$

Этап 1.2.2.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} + x + 1$

Этап 1.2.2.6

Запишем $x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 2$ в виде набора множителей.

$(x + 2) (x^{2} + x + 1) = 0$

Этап 1.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 2 = 0$

$x^{2} + x + 1 = 0$

Этап 1.2.4

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 1.2.4.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 1.2.5

Приравняем $x^{2} + x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $x^{2} + x + 1$ к $0$ .

$x^{2} + x + 1 = 0$

Этап 1.2.5.2

Решим $x^{2} + x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 1.2.5.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 1$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.3.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.3.1.3

Вычтем $4$ из $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.3.1.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.2.5.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.4.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.4.1.3

Вычтем $4$ из $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.4.1.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.2.5.2.4.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.2.5.2.4.4

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.2.5.2.4.5

Вынесем множитель $- 1$ из $i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

Этап 1.2.5.2.4.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

Этап 1.2.5.2.4.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.2.5.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.5.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.5.1.3

Вычтем $4$ из $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.5.1.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.2.5.2.5.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.2.5.2.5.4

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.2.5.2.5.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

Этап 1.2.5.2.5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Этап 1.2.5.2.5.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.2.5.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 2) (x^{2} + x + 1) = 0$ верно.

$x = - 2, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.3

Точки пересечения с осью x в форме точки.

точки пересечения с осью x: $(- 2, 0)$

Этап 2

Найдем точку пересечения с осью Y.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы найти точки пересечения с осью y, подставим $0$ вместо $x$ и найдем решение для $y$ .

$y = {(0)}^{3} + 3 {(0)}^{2} + 3 (0) + 2$

Этап 2.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 0^{3} + 3 {(0)}^{2} + 3 (0) + 2$

Этап 2.2.2

Избавимся от скобок.

$y = 0^{3} + 3 \cdot 0^{2} + 3 (0) + 2$

Этап 2.2.3

Избавимся от скобок.

$y = {(0)}^{3} + 3 {(0)}^{2} + 3 (0) + 2$

Этап 2.2.4

Упростим ${(0)}^{3} + 3 {(0)}^{2} + 3 (0) + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 + 3 {(0)}^{2} + 3 (0) + 2$

Этап 2.2.4.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 + 3 \cdot 0 + 3 (0) + 2$

Этап 2.2.4.1.3

Умножим $3$ на $0$ .

$y = 0 + 0 + 3 (0) + 2$

Этап 2.2.4.1.4

Умножим $3$ на $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 2$

Этап 2.2.4.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0 + 0 + 2$

Этап 2.2.4.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0 + 2$

Этап 2.2.4.2.3

Добавим $0$ и $2$ .

$y = 2$

Этап 2.3

Точки пересечения с осью y в форме точки.

Точки пересечения с осью y: $(0, 2)$

Этап 3

Перечислим пересечения.

точки пересечения с осью x: $(- 2, 0)$

Точки пересечения с осью y: $(0, 2)$

Этап 4