Математический анализ Примеры

$x^{2} y + e^{2 x + y} = 2 x \sqrt{y}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y}$ в виде $y^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} y + e^{2 x + y} = 2 x y^{\frac{1}{2}}$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d y} (x^{2} y + e^{2 x + y}) = \frac{d}{d y} (2 x y^{\frac{1}{2}})$

Этап 3

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x^{2} y + e^{2 x + y}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x^{2} y] + \frac{d}{d y} [e^{2 x + y}]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} y] + \frac{d}{d y} [e^{2 x + y}]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d y} [x^{2} y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ имеет вид $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , где $f (y) = x^{2}$ и $g (y) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [e^{2 x + y}]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{2} \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [e^{2 x + y}]$

Этап 3.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = y^{2}$ и $g (y) = x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [e^{2 x + y}]$

Этап 3.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (2 u_{1} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [e^{2 x + y}]$

Этап 3.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [e^{2 x + y}]$

Этап 3.2.4

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (2 x x') + \frac{d}{d y} [e^{2 x + y}]$

Этап 3.2.5

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} + y (2 x x') + \frac{d}{d y} [e^{2 x + y}]$

Этап 3.2.6

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$x^{2} + 2 y x x' + \frac{d}{d y} [e^{2 x + y}]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [e^{2 x + y}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x + y$ .

$x^{2} + 2 y x x' + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d y} [2 x + y]$

Этап 3.3.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$x^{2} + 2 y x x' + e^{u_{2}} \frac{d}{d y} [2 x + y]$

Этап 3.3.1.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x + y$ .

$x^{2} + 2 y x x' + e^{2 x + y} \frac{d}{d y} [2 x + y]$

Этап 3.3.2

По правилу суммы производная $2 x + y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$x^{2} + 2 y x x' + e^{2 x + y} (\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [y])$

Этап 3.3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $y$ , производная $2 x$ по $y$ равна $2 \frac{d}{d y} [x]$ .

$x^{2} + 2 y x x' + e^{2 x + y} (2 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y])$

Этап 3.3.4

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$x^{2} + 2 y x x' + e^{2 x + y} (2 x' + \frac{d}{d y} [y])$

Этап 3.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{2} + 2 y x x' + e^{2 x + y} (2 x' + 1)$

Этап 3.4

Изменим порядок членов.

$x^{2} + 2 x y x' + e^{2 x + y} (2 x' + 1)$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $y$ , производная $2 x y^{\frac{1}{2}}$ по $y$ равна $2 \frac{d}{d y} [x y^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d y} [x y^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.2

$2 (x \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}] + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (x (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1}) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Этап 4.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 (x (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Этап 4.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 (x (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Этап 4.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 (x (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Этап 4.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 (x (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}}) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Этап 4.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$2 (x (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}}) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Этап 4.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 (x (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}}) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Этап 4.9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (x \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Этап 4.10

Объединим $x$ и $\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$2 (\frac{x y^{- \frac{1}{2}}}{2} + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Этап 4.11

Перенесем $y^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (\frac{x}{2 y^{\frac{1}{2}}} + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Этап 4.12

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$2 (\frac{x}{2 y^{\frac{1}{2}}} + y^{\frac{1}{2}} x')$

Этап 4.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \frac{x}{2 y^{\frac{1}{2}}} + 2 (y^{\frac{1}{2}} x')$

Этап 4.13.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.2.1

Объединим $2$ и $\frac{x}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x}{2 y^{\frac{1}{2}}} + 2 (y^{\frac{1}{2}} x')$

Этап 4.13.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2 y^{\frac{1}{2}}} + 2 (y^{\frac{1}{2}} x')$

Этап 4.13.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x}{y^{\frac{1}{2}}} + 2 y^{\frac{1}{2}} x'$

Этап 4.13.3

Изменим порядок членов.

$2 y^{\frac{1}{2}} x' + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$x^{2} + 2 x y x' + e^{2 x + y} (2 x' + 1) = 2 y^{\frac{1}{2}} x' + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим $x^{2} + 2 x y x' + e^{2 x + y} (2 x' + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 2 x y x' + e^{2 x + y} (2 x') + e^{2 x + y} \cdot 1 = 2 y^{\frac{1}{2}} x' + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.1.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{2} + 2 x y x' + 2 e^{2 x + y} x' + e^{2 x + y} \cdot 1 = 2 y^{\frac{1}{2}} x' + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.1.1.3

Умножим $e^{2 x + y}$ на $1$ .

$x^{2} + 2 x y x' + 2 e^{2 x + y} x' + e^{2 x + y} = 2 y^{\frac{1}{2}} x' + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.1.2

Изменим порядок множителей в $x^{2} + 2 x y x' + 2 e^{2 x + y} x' + e^{2 x + y}$ .

$x^{2} + 2 x y x' + 2 x' e^{2 x + y} + e^{2 x + y} = 2 y^{\frac{1}{2}} x' + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.2

Изменим порядок множителей в $2 y^{\frac{1}{2}} x' + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$x^{2} + 2 x y x' + 2 x' e^{2 x + y} + e^{2 x + y} = 2 x' y^{\frac{1}{2}} + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.3

Вычтем $2 x' y^{\frac{1}{2}}$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 2 x y x' + 2 x' e^{2 x + y} + e^{2 x + y} - 2 x' y^{\frac{1}{2}} = \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.4

Перенесем все члены без $x'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$2 x y x' + 2 x' e^{2 x + y} + e^{2 x + y} - 2 x' y^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}} = - x^{2}$

Этап 6.4.2

Вычтем $e^{2 x + y}$ из обеих частей уравнения.

$2 x y x' + 2 x' e^{2 x + y} - 2 x' y^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}} = - x^{2} - e^{2 x + y}$

Этап 6.4.3

Добавим $\frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}$ к обеим частям уравнения.

$2 x y x' + 2 x' e^{2 x + y} - 2 x' y^{\frac{1}{2}} = - x^{2} - e^{2 x + y} + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.5

Вынесем множитель $2 x'$ из $2 x y x' + 2 x' e^{2 x + y} - 2 x' y^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Вынесем множитель $2 x'$ из $2 x y x'$ .

$2 x' (x y) + 2 x' e^{2 x + y} - 2 x' y^{\frac{1}{2}} = - x^{2} - e^{2 x + y} + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.5.2

Вынесем множитель $2 x'$ из $2 x' e^{2 x + y}$ .

$2 x' (x y) + 2 x' e^{2 x + y} - 2 x' y^{\frac{1}{2}} = - x^{2} - e^{2 x + y} + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.5.3

Вынесем множитель $2 x'$ из $- 2 x' y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x' (x y) + 2 x' e^{2 x + y} + 2 x' (- 1 y^{\frac{1}{2}}) = - x^{2} - e^{2 x + y} + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.5.4

Вынесем множитель $2 x'$ из $2 x' (x y) + 2 x' e^{2 x + y}$ .

$2 x' (x y + e^{2 x + y}) + 2 x' (- 1 y^{\frac{1}{2}}) = - x^{2} - e^{2 x + y} + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.5.5

Вынесем множитель $2 x'$ из $2 x' (x y + e^{2 x + y}) + 2 x' (- 1 y^{\frac{1}{2}})$ .

$2 x' (x y + e^{2 x + y} - 1 y^{\frac{1}{2}}) = - x^{2} - e^{2 x + y} + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.6

Перепишем $- 1 y^{\frac{1}{2}}$ в виде $- y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x' (x y + e^{2 x + y} - y^{\frac{1}{2}}) = - x^{2} - e^{2 x + y} + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.7

Разделим каждый член $2 x' (x y + e^{2 x + y} - y^{\frac{1}{2}}) = - x^{2} - e^{2 x + y} + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}$ на $2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Разделим каждый член $2 x' (x y + e^{2 x + y} - y^{\frac{1}{2}}) = - x^{2} - e^{2 x + y} + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}$ на $2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x' (x y + e^{2 x + y} - y^{\frac{1}{2}})}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}} = \frac{- x^{2}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{- e^{2 x + y}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{\frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x' (x y + e^{2 x + y} - y^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 (x' (x y + e^{2 x + y} - y^{\frac{1}{2}}))}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}} = \frac{- x^{2}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{- e^{2 x + y}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{\frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.7.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x y$ .

$\frac{2 (x' (x y + e^{2 x + y} - y^{\frac{1}{2}}))}{2 (x y) + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}} = \frac{- x^{2}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{- e^{2 x + y}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{\frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.7.2.2.2

Вынесем множитель $2$ из $2 e^{2 x + y}$ .

$\frac{2 (x' (x y + e^{2 x + y} - y^{\frac{1}{2}}))}{2 (x y) + 2 (e^{2 x + y}) - 2 y^{\frac{1}{2}}} = \frac{- x^{2}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{- e^{2 x + y}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{\frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.7.2.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (x y) + 2 (e^{2 x + y})$ .

$\frac{2 (x' (x y + e^{2 x + y} - y^{\frac{1}{2}}))}{2 (x y + e^{2 x + y}) - 2 y^{\frac{1}{2}}} = \frac{- x^{2}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{- e^{2 x + y}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{\frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.7.2.2.4

Вынесем множитель $2$ из $- 2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (x' (x y + e^{2 x + y} - y^{\frac{1}{2}}))}{2 (x y + e^{2 x + y}) + 2 (- y^{\frac{1}{2}})} = \frac{- x^{2}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{- e^{2 x + y}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{\frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.7.2.2.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (x y + e^{2 x + y}) + 2 (- y^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 (x' (x y + e^{2 x + y} - y^{\frac{1}{2}}))}{2 (x y + e^{2 x + y} - y^{\frac{1}{2}})} = \frac{- x^{2}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{- e^{2 x + y}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{\frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.7.2.2.6

Сократим общий множитель.

Этап 6.7.2.2.7

Перепишем это выражение.

$\frac{x' (x y + e^{2 x + y} - y^{\frac{1}{2}})}{x y + e^{2 x + y} - y^{\frac{1}{2}}} = \frac{- x^{2}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{- e^{2 x + y}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{\frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.7.2.3

Сократим общий множитель.

Этап 6.7.2.4

Разделим $x'$ на $1$ .

$x' = \frac{- x^{2}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{- e^{2 x + y}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{\frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$x' = \frac{- x^{2} - e^{2 x + y} + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 x y - 2 y^{\frac{1}{2}} + 2 e^{2 x + y}}$

Этап 6.7.3.2

Чтобы записать $- e^{2 x + y}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$x' = \frac{- x^{2} - e^{2 x + y} \cdot \frac{y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{1}{2}}} + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 x y - 2 y^{\frac{1}{2}} + 2 e^{2 x + y}}$

Этап 6.7.3.3

Объединим $- e^{2 x + y}$ и $\frac{y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$x' = \frac{- x^{2} + \frac{- e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{1}{2}}} + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 x y - 2 y^{\frac{1}{2}} + 2 e^{2 x + y}}$

Этап 6.7.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$x' = \frac{- x^{2} + \frac{- e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}} + x}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 x y - 2 y^{\frac{1}{2}} + 2 e^{2 x + y}}$

Этап 6.7.3.5

Чтобы записать $- x^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$x' = \frac{- x^{2} \cdot \frac{y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{1}{2}}} + \frac{- e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}} + x}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 x y - 2 y^{\frac{1}{2}} + 2 e^{2 x + y}}$

Этап 6.7.3.6

Объединим $- x^{2}$ и $\frac{y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$x' = \frac{\frac{- x^{2} y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{1}{2}}} + \frac{- e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}} + x}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 x y - 2 y^{\frac{1}{2}} + 2 e^{2 x + y}}$

Этап 6.7.3.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$x' = \frac{\frac{- x^{2} y^{\frac{1}{2}} - e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}} + x}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 x y - 2 y^{\frac{1}{2}} + 2 e^{2 x + y}}$

Этап 6.7.3.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ .

$x' = \frac{\frac{- (x^{2} y^{\frac{1}{2}}) - e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}} + x}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 x y - 2 y^{\frac{1}{2}} + 2 e^{2 x + y}}$

Этап 6.7.3.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}}$ .

$x' = \frac{\frac{- (x^{2} y^{\frac{1}{2}}) - (e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}}) + x}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 x y - 2 y^{\frac{1}{2}} + 2 e^{2 x + y}}$

Этап 6.7.3.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} y^{\frac{1}{2}}) - (e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}})$ .

$x' = \frac{\frac{- (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}}) + x}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 x y - 2 y^{\frac{1}{2}} + 2 e^{2 x + y}}$

Этап 6.7.3.11

Вынесем множитель $- 1$ из $x$ .

$x' = \frac{\frac{- (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}}) - 1 (- x)}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 x y - 2 y^{\frac{1}{2}} + 2 e^{2 x + y}}$

Этап 6.7.3.12

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}}) - 1 (- x)$ .

$x' = \frac{\frac{- (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}} - x)}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 x y - 2 y^{\frac{1}{2}} + 2 e^{2 x + y}}$

Этап 6.7.3.13

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.3.13.1

Перепишем $- (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}} - x)$ в виде $- 1 (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}} - x)$ .

$x' = \frac{\frac{- 1 (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}} - x)}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 x y - 2 y^{\frac{1}{2}} + 2 e^{2 x + y}}$

Этап 6.7.3.13.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x' = \frac{- \frac{x^{2} y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}} - x}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 x y - 2 y^{\frac{1}{2}} + 2 e^{2 x + y}}$

Этап 6.7.3.14

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x' = - \frac{x^{2} y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}} - x}{y^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x y - 2 y^{\frac{1}{2}} + 2 e^{2 x + y}}$

Этап 6.7.3.15

Вынесем множитель $2$ из $2 x y - 2 y^{\frac{1}{2}} + 2 e^{2 x + y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.3.15.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x y$ .

$x' = - \frac{x^{2} y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}} - x}{y^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 (x y) - 2 y^{\frac{1}{2}} + 2 e^{2 x + y}}$

Этап 6.7.3.15.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$x' = - \frac{x^{2} y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}} - x}{y^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 (x y) + 2 (- y^{\frac{1}{2}}) + 2 e^{2 x + y}}$

Этап 6.7.3.15.3

Вынесем множитель $2$ из $2 e^{2 x + y}$ .

$x' = - \frac{x^{2} y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}} - x}{y^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 (x y) + 2 (- y^{\frac{1}{2}}) + 2 (e^{2 x + y})}$

Этап 6.7.3.15.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (x y) + 2 (- y^{\frac{1}{2}})$ .

$x' = - \frac{x^{2} y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}} - x}{y^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 (x y - y^{\frac{1}{2}}) + 2 (e^{2 x + y})}$

Этап 6.7.3.15.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (x y - y^{\frac{1}{2}}) + 2 (e^{2 x + y})$ .

$x' = - \frac{x^{2} y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}} - x}{y^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 (x y - y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y})}$

Этап 6.7.3.16

Умножим $\frac{1}{2 (x y - y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y})}$ на $\frac{x^{2} y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}} - x}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$x' = - \frac{x^{2} y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}} - x}{2 (x y - y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y}) y^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.7.3.17

Изменим порядок множителей в $- \frac{x^{2} y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}} - x}{2 (x y - y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y}) y^{\frac{1}{2}}}$ .

$x' = - \frac{x^{2} y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}} - x}{2 y^{\frac{1}{2}} (x y - y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y})}$

Этап 7

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x^{2} y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}} - x}{2 y^{\frac{1}{2}} (x y - y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y})}$