Математический анализ Примеры

$u = v^{2} \sqrt{2 v - 9}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 u' - 9}$ в виде ${(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$u = {u'}^{2} {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d u'} u = \frac{d}{d u'} ({u'}^{2} {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 3

Производная $u$ по $u'$ равна $u'$ .

$u'$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d v} [f (u') g (u')]$ имеет вид $f (u') \frac{d}{d v} [g (u')] + g (u') \frac{d}{d v} [f (u')]$ , где $f (u') = {u'}^{2}$ и $g (u') = {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

${u'}^{2} \frac{d}{d v} [{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}] + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d v} [f (g (u'))]$ имеет вид $f' (g (u')) g' (u')$ , где $f (u') = {u'}^{\frac{1}{2}}$ и $g (u') = 2 u' - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 u' - 9$ .

${u'}^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d v} [2 u' - 9]) + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Этап 4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]) + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Этап 4.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 u' - 9$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]) + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Этап 4.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]) + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Этап 4.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]) + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Этап 4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(2 u' - 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]) + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Этап 4.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(2 u' - 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]) + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Этап 4.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(2 u' - 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]) + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Этап 4.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(2 u' - 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]) + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Этап 4.7.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(2 u' - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

${u'}^{2} (\frac{{(2 u' - 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]) + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Этап 4.7.3

Перенесем ${(2 u' - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2 {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]) + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Этап 4.7.4

Объединим $\frac{1}{2 {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ и ${u'}^{2}$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9] + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Этап 4.8

По правилу суммы производная $2 u' - 9$ по $u'$ имеет вид $\frac{d}{d v} [2 u'] + \frac{d}{d v} [- 9]$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d v} [2 u'] + \frac{d}{d v} [- 9]) + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Этап 4.9

Поскольку $2$ является константой относительно $u'$ , производная $2 u'$ по $u'$ равна $2 \frac{d}{d v} [u']$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d v} [u'] + \frac{d}{d v} [- 9]) + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Этап 4.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d v} [{u'}^{n}]$ имеет вид $n {u'}^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [- 9]) + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Этап 4.11

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 + \frac{d}{d v} [- 9]) + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Этап 4.12

Поскольку $- 9$ является константой относительно $u'$ , производная $- 9$ относительно $u'$ равна $0$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 + 0) + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Этап 4.13

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.1

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 2 + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Этап 4.13.2

Объединим $\frac{{u'}^{2}}{2 {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ и $2$ .

$\frac{{u'}^{2} \cdot 2}{2 {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Этап 4.13.3

Перенесем $2$ влево от ${u'}^{2}$ .

$\frac{2 \cdot {u'}^{2}}{2 {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Этап 4.13.4

Сократим общий множитель.

$\frac{2 {u'}^{2}}{2 {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Этап 4.13.5

Перепишем это выражение.

$\frac{{u'}^{2}}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Этап 4.14

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d v} [{u'}^{n}]$ имеет вид $n {u'}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{{u'}^{2}}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} (2 u')$

Этап 4.15

Перенесем $2$ влево от ${(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{u'}^{2}}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} u'$

Этап 4.16

Объединим $\frac{{u'}^{2}}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ и $2 {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} u'$ , используя общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.16.1

Перенесем ${(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{u'}^{2}}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} + 2 u' {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 4.16.2

Чтобы записать $2 u' {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{u'}^{2}}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 u' {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.16.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{{u'}^{2} + 2 u' {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.17

Умножим ${(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.17.1

Перенесем ${(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{u'}^{2} + 2 u' ({(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}})}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.17.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{u'}^{2} + 2 u' {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.17.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{{u'}^{2} + 2 u' {(2 u' - 9)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.17.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{{u'}^{2} + 2 u' {(2 u' - 9)}^{\frac{2}{2}}}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.17.5

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{{u'}^{2} + 2 u' {(2 u' - 9)}^{1}}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.18

Упростим $2 u' {(2 u' - 9)}^{1}$ .

$\frac{{u'}^{2} + 2 u' (2 u' - 9)}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.19

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.19.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{{u'}^{2} + 2 u' (2 u') + 2 u' \cdot - 9}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.19.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.19.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.19.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{{u'}^{2} + 2 \cdot 2 u' u' + 2 u' \cdot - 9}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.19.2.1.2

Умножим $u'$ на $u'$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.19.2.1.2.1

Перенесем $u'$ .

$\frac{{u'}^{2} + 2 \cdot 2 (u' u') + 2 u' \cdot - 9}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.19.2.1.2.2

Умножим $u'$ на $u'$ .

$\frac{{u'}^{2} + 2 \cdot 2 {u'}^{2} + 2 u' \cdot - 9}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.19.2.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{{u'}^{2} + 4 {u'}^{2} + 2 u' \cdot - 9}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.19.2.1.4

Умножим $- 9$ на $2$ .

$\frac{{u'}^{2} + 4 {u'}^{2} - 18 u'}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.19.2.2

Добавим ${u'}^{2}$ и $4 {u'}^{2}$ .

$\frac{5 {u'}^{2} - 18 u'}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.19.3

Вынесем множитель $u'$ из $5 {u'}^{2} - 18 u'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.19.3.1

Вынесем множитель $u'$ из $5 {u'}^{2}$ .

$\frac{u' (5 u') - 18 u'}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.19.3.2

Вынесем множитель $u'$ из $- 18 u'$ .

$\frac{u' (5 u') + u' \cdot - 18}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.19.3.3

Вынесем множитель $u'$ из $u' (5 u') + u' \cdot - 18$ .

$\frac{u' (5 u' - 18)}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$u' = \frac{u' (5 u' - 18)}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

Нет решения

Этап 7

Заменим $u'$ на $\frac{d u}{d v}$ .

$\frac{d u}{d v}$