Математический анализ Примеры

$r = \frac{4 e^{w}}{5 w}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d w} (r) = \frac{d}{d w} (\frac{4 e^{w}}{5 w})$

Этап 2

Производная $r$ по $w$ равна $r'$ .

$r'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $\frac{4}{5}$ является константой относительно $w$ , производная $\frac{4 e^{w}}{5 w}$ по $w$ равна $\frac{4}{5} \frac{d}{d w} [\frac{e^{w}}{w}]$ .

$\frac{4}{5} \frac{d}{d w} [\frac{e^{w}}{w}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d w} [\frac{f (w)}{g (w)}]$ имеет вид $\frac{g (w) \frac{d}{d w} [f (w)] - f (w) \frac{d}{d w} [g (w)]}{{g (w)}^{2}}$ , где $f (w) = e^{w}$ и $g (w) = w$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{w \frac{d}{d w} [e^{w}] - e^{w} \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d w} [a^{w}]$ имеет вид $a^{w} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{w e^{w} - e^{w} \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ имеет вид $n w^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{w e^{w} - e^{w} \cdot 1}{w^{2}}$

Этап 3.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{w e^{w} - e^{w}}{w^{2}}$

Этап 3.4.2.2

Умножим $\frac{4}{5}$ на $\frac{w e^{w} - e^{w}}{w^{2}}$ .

$\frac{4 (w e^{w} - e^{w})}{5 w^{2}}$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 (w e^{w}) + 4 (- e^{w})}{5 w^{2}}$

Этап 3.5.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{4 w e^{w} - 4 e^{w}}{5 w^{2}}$

Этап 3.5.3

Изменим порядок членов.

$\frac{4 e^{w} w - 4 e^{w}}{5 w^{2}}$

Этап 3.5.4

Вынесем множитель $4 e^{w}$ из $4 e^{w} w - 4 e^{w}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Вынесем множитель $4 e^{w}$ из $4 e^{w} w$ .

$\frac{4 e^{w} (w) - 4 e^{w}}{5 w^{2}}$

Этап 3.5.4.2

Вынесем множитель $4 e^{w}$ из $- 4 e^{w}$ .

$\frac{4 e^{w} (w) + 4 e^{w} (- 1)}{5 w^{2}}$

Этап 3.5.4.3

Вынесем множитель $4 e^{w}$ из $4 e^{w} (w) + 4 e^{w} (- 1)$ .

$\frac{4 e^{w} (w - 1)}{5 w^{2}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$r' = \frac{4 e^{w} (w - 1)}{5 w^{2}}$

Этап 5

Заменим $r'$ на $\frac{d r}{d w}$ .

$\frac{d r}{d w} = \frac{4 e^{w} (w - 1)}{5 w^{2}}$