Математический анализ Примеры

$s = t^{5} \ln (t)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} (t^{5} \ln (t))$

Этап 2

Производная $s$ по $t$ равна $s'$ .

$s'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ имеет вид $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , где $f (t) = t^{5}$ и $g (t) = \ln (t)$ .

$t^{5} \frac{d}{d t} [\ln (t)] + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{5}]$

Этап 3.2

Производная $\ln (t)$ по $t$ равна $\frac{1}{t}$ .

$t^{5} \frac{1}{t} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{5}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Объединим $t^{5}$ и $\frac{1}{t}$ .

$\frac{t^{5}}{t} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{5}]$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель $t^{5}$ и $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вынесем множитель $t$ из $t^{5}$ .

$\frac{t \cdot t^{4}}{t} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{5}]$

Этап 3.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{t \cdot t^{4}}{t^{1}} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{5}]$

Этап 3.3.2.2.2

Вынесем множитель $t$ из $t^{1}$ .

$\frac{t \cdot t^{4}}{t \cdot 1} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{5}]$

Этап 3.3.2.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{t \cdot t^{4}}{t \cdot 1} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{5}]$

Этап 3.3.2.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{t^{4}}{1} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{5}]$

Этап 3.3.2.2.5

Разделим $t^{4}$ на $1$ .

$t^{4} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{5}]$

Этап 3.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$t^{4} + \ln (t) (5 t^{4})$

Этап 3.3.4

Изменим порядок членов.

$t^{4} + 5 t^{4} \ln (t)$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$s' = t^{4} + 5 t^{4} \ln (t)$

Этап 5

Заменим $s'$ на $\frac{d s}{d t}$ .

$\frac{d s}{d t} = t^{4} + 5 t^{4} \ln (t)$