Математический анализ Примеры

$r = \frac{1}{3 s^{2}} - \frac{5}{2 s}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d s} (r) = \frac{d}{d s} (\frac{1}{3 s^{2}} - \frac{5}{2 s})$

Этап 2

Производная $r$ по $s$ равна $r'$ .

$r'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $\frac{1}{3 s^{2}} - \frac{5}{2 s}$ по $s$ имеет вид $\frac{d}{d s} [\frac{1}{3 s^{2}}] + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$ .

$\frac{d}{d s} [\frac{1}{3 s^{2}}] + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d s} [\frac{1}{3 s^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $\frac{1}{3}$ является константой относительно $s$ , производная $\frac{1}{3 s^{2}}$ по $s$ равна $\frac{1}{3} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s^{2}}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s^{2}}] + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

Этап 3.2.2

Перепишем $\frac{1}{s^{2}}$ в виде ${(s^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d s} [{(s^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

Этап 3.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ имеет вид $f' (g (s)) g' (s)$ , где $f (s) = s^{- 1}$ и $g (s) = s^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $s^{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d s} [s^{2}]) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

Этап 3.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$\frac{1}{3} (- u^{- 2} \frac{d}{d s} [s^{2}]) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

Этап 3.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $s^{2}$ .

$\frac{1}{3} (- {(s^{2})}^{- 2} \frac{d}{d s} [s^{2}]) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

Этап 3.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ имеет вид $n s^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{3} (- {(s^{2})}^{- 2} (2 s)) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

Этап 3.2.5

Перемножим экспоненты в ${(s^{2})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (- s^{2 \cdot - 2} (2 s)) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

Этап 3.2.5.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{1}{3} (- s^{- 4} (2 s)) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

Этап 3.2.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{3} (- 2 s^{- 4} s) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

Этап 3.2.7

Возведем $s$ в степень $1$ .

$\frac{1}{3} (- 2 (s^{1} s^{- 4})) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

Этап 3.2.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{3} (- 2 s^{1 - 4}) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

Этап 3.2.9

Вычтем $4$ из $1$ .

$\frac{1}{3} (- 2 s^{- 3}) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

Этап 3.2.10

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 2}{3} s^{- 3} + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

Этап 3.2.11

Объединим $\frac{- 2}{3}$ и $s^{- 3}$ .

$\frac{- 2 s^{- 3}}{3} + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

Этап 3.2.12

Перенесем $s^{- 3}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 2}{3 s^{3}} + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

Этап 3.2.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{3 s^{3}} + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- \frac{5}{2}$ является константой относительно $s$ , производная $- \frac{5}{2 s}$ по $s$ равна $- \frac{5}{2} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s}]$ .

$- \frac{2}{3 s^{3}} - \frac{5}{2} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s}]$

Этап 3.3.2

Перепишем $\frac{1}{s}$ в виде $s^{- 1}$ .

$- \frac{2}{3 s^{3}} - \frac{5}{2} \frac{d}{d s} [s^{- 1}]$

Этап 3.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ имеет вид $n s^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- \frac{2}{3 s^{3}} - \frac{5}{2} (- s^{- 2})$

Этап 3.3.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{2}{3 s^{3}} + 1 (\frac{5}{2}) s^{- 2}$

Этап 3.3.5

Умножим $\frac{5}{2}$ на $1$ .

$- \frac{2}{3 s^{3}} + \frac{5}{2} s^{- 2}$

Этап 3.3.6

Объединим $\frac{5}{2}$ и $s^{- 2}$ .

$- \frac{2}{3 s^{3}} + \frac{5 s^{- 2}}{2}$

Этап 3.3.7

Перенесем $s^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{3 s^{3}} + \frac{5}{2 s^{2}}$

Этап 3.4

Изменим порядок членов.

$\frac{5}{2 s^{2}} - \frac{2}{3 s^{3}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$r' = \frac{5}{2 s^{2}} - \frac{2}{3 s^{3}}$

Этап 5

Заменим $r'$ на $\frac{d r}{d s}$ .

$\frac{d r}{d s} = \frac{5}{2 s^{2}} - \frac{2}{3 s^{3}}$