Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{\sin (4 x)}{2 x}$

Этап 1

Найдем точки пересечения с осью x.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы найти точки пересечения с осью x, подставим $0$ вместо $y$ и найдем решение для $x$ .

$0 = \frac{\sin (4 x)}{2 x}$

Этап 1.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Приравняем числитель к нулю.

$\sin (4 x) = 0$

Этап 1.2.2

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$4 x = \arcsin (0)$

Этап 1.2.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$4 x = 0$

Этап 1.2.2.3

Разделим каждый член $4 x = 0$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Разделим каждый член $4 x = 0$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 1.2.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 1.2.2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Этап 1.2.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.3.1

Разделим $0$ на $4$ .

$x = 0$

Этап 1.2.2.4

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$4 x = π - 0$

Этап 1.2.2.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.5.1.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$4 x = π + 0$

Этап 1.2.2.5.1.2

Добавим $π$ и $0$ .

$4 x = π$

Этап 1.2.2.5.2

Разделим каждый член $4 x = π$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.5.2.1

Разделим каждый член $4 x = π$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{π}{4}$

Этап 1.2.2.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.5.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{π}{4}$

Этап 1.2.2.5.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{π}{4}$

Этап 1.2.2.6

Найдем период $\sin (4 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 1.2.2.6.2

Заменим $b$ на $4$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 4 |}$

Этап 1.2.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $4$ равно $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Этап 1.2.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.6.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{4}$

Этап 1.2.2.6.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.6.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.2.6.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.2.6.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{π}{2}$

Этап 1.2.2.7

Период функции $\sin (4 x)$ равен $\frac{π}{2}$ . Поэтому значения повторяются через каждые $\frac{π}{2}$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π n}{2}, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 1.2.3

Объединим ответы.

$x = \frac{π n}{4}$ , для любого целого $n$

Этап 1.3

Точки пересечения с осью x в форме точки.

Точки пересечения с осью x: $(\frac{π n}{4}, 0)$ , для любого целого $n$

Этап 2

Найдем точку пересечения с осью Y.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы найти точки пересечения с осью y, подставим $0$ вместо $x$ и найдем решение для $y$ .

$y = \frac{\sin (4 (0))}{2 (0)}$

Этап 2.2

Уравнение содержит дробь, знаменатель которой может обращаться в ноль.

Неопределенные

Этап 2.3

Чтобы найти точки пересечения с осью y, подставим $0$ вместо $x$ и найдем решение для $y$ .

Точки пересечения с осью y: $Нет$

Этап 3

Перечислим пересечения.

Точки пересечения с осью x: $(\frac{π n}{4}, 0)$ , для любого целого $n$

Точки пересечения с осью y: $Нет$

Этап 4