Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{3} - 18 x^{2} + 81 x$

Этап 1

Найдем точки пересечения с осью x.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы найти точки пересечения с осью x, подставим $0$ вместо $y$ и найдем решение для $x$ .

$0 = x^{3} - 18 x^{2} + 81 x$

Этап 1.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем уравнение в виде $x^{3} - 18 x^{2} + 81 x = 0$ .

$x^{3} - 18 x^{2} + 81 x = 0$

Этап 1.2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} - 18 x^{2} + 81 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 18 x^{2} + 81 x = 0$

Этап 1.2.2.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 18 x^{2}$ .

$x \cdot x^{2} + x (- 18 x) + 81 x = 0$

Этап 1.2.2.1.3

Вынесем множитель $x$ из $81 x$ .

$x \cdot x^{2} + x (- 18 x) + x \cdot 81 = 0$

Этап 1.2.2.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x (- 18 x)$ .

$x (x^{2} - 18 x) + x \cdot 81 = 0$

Этап 1.2.2.1.5

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{2} - 18 x) + x \cdot 81$ .

$x (x^{2} - 18 x + 81) = 0$

Этап 1.2.2.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Перепишем $81$ в виде $9^{2}$ .

$x (x^{2} - 18 x + 9^{2}) = 0$

Этап 1.2.2.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$18 x = 2 \cdot x \cdot 9$

Этап 1.2.2.2.3

Перепишем многочлен.

$x (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 9 + 9^{2}) = 0$

Этап 1.2.2.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 9$ .

$x {(x - 9)}^{2} = 0$

Этап 1.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

${(x - 9)}^{2} = 0$

Этап 1.2.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 1.2.5

Приравняем ${(x - 9)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем ${(x - 9)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 9)}^{2} = 0$

Этап 1.2.5.2

Решим ${(x - 9)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1

Приравняем $x - 9$ к $0$ .

$x - 9 = 0$

Этап 1.2.5.2.2

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$x = 9$

Этап 1.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x {(x - 9)}^{2} = 0$ верно.

$x = 0, 9$

Этап 1.3

Точки пересечения с осью x в форме точки.

точки пересечения с осью x: $(0, 0), (9, 0)$

Этап 2

Найдем точку пересечения с осью Y.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы найти точки пересечения с осью y, подставим $0$ вместо $x$ и найдем решение для $y$ .

$y = {(0)}^{3} - 18 {(0)}^{2} + 81 (0)$

Этап 2.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 0^{3} - 18 {(0)}^{2} + 81 (0)$

Этап 2.2.2

Избавимся от скобок.

$y = 0^{3} - 18 \cdot 0^{2} + 81 (0)$

Этап 2.2.3

Избавимся от скобок.

$y = {(0)}^{3} - 18 {(0)}^{2} + 81 (0)$

Этап 2.2.4

Упростим ${(0)}^{3} - 18 {(0)}^{2} + 81 (0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 - 18 {(0)}^{2} + 81 (0)$

Этап 2.2.4.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 - 18 \cdot 0 + 81 (0)$

Этап 2.2.4.1.3

Умножим $- 18$ на $0$ .

$y = 0 + 0 + 81 (0)$

Этап 2.2.4.1.4

Умножим $81$ на $0$ .

$y = 0 + 0 + 0$

Этап 2.2.4.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0 + 0$

Этап 2.2.4.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0$

Этап 2.3

Точки пересечения с осью y в форме точки.

Точки пересечения с осью y: $(0, 0)$

Этап 3

Перечислим пересечения.

точки пересечения с осью x: $(0, 0), (9, 0)$

Точки пересечения с осью y: $(0, 0)$

Этап 4