Математический анализ Примеры

$h (x) = 7 x^{2} (6 x + 5^{2})$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 7 x^{2}$ и $g (x) = 6 x + 5^{2}$ .

$7 x^{2} \frac{d}{d x} [6 x + 5^{2}] + (6 x + 5^{2}) \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило суммы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$7 x^{2} \frac{d}{d x} [6 x + 25] + (6 x + 5^{2}) \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $6 x + 25$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$7 x^{2} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [25]) + (6 x + 5^{2}) \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 x^{2} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]) + (6 x + 5^{2}) \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$7 x^{2} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25]) + (6 x + 5^{2}) \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Этап 3.3

Умножим $6$ на $1$ .

$7 x^{2} (6 + \frac{d}{d x} [25]) + (6 x + 5^{2}) \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $25$ является константой относительно $x$ , производная $25$ относительно $x$ равна $0$ .

$7 x^{2} (6 + 0) + (6 x + 5^{2}) \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Этап 4.2

Добавим $6$ и $0$ .

$7 x^{2} \cdot 6 + (6 x + 5^{2}) \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Этап 4.3

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x^{2}$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 x^{2} \cdot 6 + (6 x + 5^{2}) (7 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$7 x^{2} \cdot 6 + (6 x + 5^{2}) (7 (2 x))$

Этап 4.5

Умножим $2$ на $7$ .

$7 x^{2} \cdot 6 + (6 x + 5^{2}) (14 x)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$7 x^{2} \cdot 6 + 6 x (14 x) + 5^{2} (14 x)$

Этап 5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $6$ на $7$ .

$42 x^{2} + 6 x (14 x) + 5^{2} (14 x)$

Этап 5.2.2

Умножим $14$ на $6$ .

$42 x^{2} + 84 x \cdot x + 5^{2} (14 x)$

Этап 5.2.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$42 x^{2} + 84 (x^{1} x) + 5^{2} (14 x)$

Этап 5.2.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$42 x^{2} + 84 (x^{1} x^{1}) + 5^{2} (14 x)$

Этап 5.2.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$42 x^{2} + 84 x^{1 + 1} + 5^{2} (14 x)$

Этап 5.2.6

Добавим $1$ и $1$ .

$42 x^{2} + 84 x^{2} + 5^{2} (14 x)$

Этап 5.2.7

Возведем $5$ в степень $2$ .

$42 x^{2} + 84 x^{2} + 25 (14 x)$

Этап 5.2.8

Умножим $14$ на $25$ .

$42 x^{2} + 84 x^{2} + 350 x$

Этап 5.2.9

Добавим $42 x^{2}$ и $84 x^{2}$ .

$126 x^{2} + 350 x$