Математический анализ Примеры

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Этап 2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Этап 3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) (- \sin (x)) - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- \sin (x) \sin (x) - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 4.1.1.2

Умножим $- \sin (x) \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.2.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{- (\sin^{1} (x) \sin (x)) - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 4.1.1.2.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 4.1.1.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- {\sin (x)}^{1 + 1} - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 4.1.1.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (x) - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 4.1.1.3

Умножим $- \cos (x) \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.3.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

Этап 4.1.1.3.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{\sin^{2} (x)}$

Этап 4.1.1.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- \sin^{2} (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (x)}$

Этап 4.1.1.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 4.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sin^{2} (x)$ .

$\frac{- (\sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 4.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- \cos^{2} (x)$ .

$\frac{- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}$

Этап 4.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))$ .

$\frac{- (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}$

Этап 4.1.5

Применим формулу Пифагора.

$\frac{- 1 \cdot 1}{\sin^{2} (x)}$

Этап 4.1.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- 1}{\sin^{2} (x)}$

Этап 4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Этап 4.2.2

Переведем $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ в $\csc^{2} (x)$ .

$- \csc^{2} (x)$